Questão 8.
Um planeta movendo-se em uma órbita circular experimenta uma aceleração a. Se esta aceleração depende apenas da velocidade linear v do planeta e o raio r da órbita, mostre, a partir das dimensões, como a depende de v e r.

Passo 1

O enunciado diz que um planeta em órbita circular sofre uma aceleração a que depende apenas de sua velocidade linear v e do raio r da órbita. Vamos usar análise dimensional para descobrir a relação funcional entre a, v e r.

Passo 2

Suponha que
a \propto v^{\alpha} \, r^{\beta}.
Em termos de dimensões, temos
[a] = L\,T^{-2},\quad [v] = L\,T^{-1},\quad [r]=L.
Logo
[a] = [v]^{\alpha}\,[r]^{\beta} = (L\,T^{-1})^{\alpha}\,(L)^{\beta} = L^{\alpha + \beta}\,T^{-\alpha}.
Igualando expoentes de L\) e \(T\) em \[L^{1}\,T^{-2} = L^{\alpha+\beta}\,T^{-\alpha},
obtém-se o sistema
\begin{cases} \alpha + \beta = 1,\\\\ -\alpha = -2. \end{cases}
Da segunda equação vem \alpha=2\] e, então, \(\beta=1-\alpha=1-2=-1.

Passo 3

Substituindo \alpha=2 e \beta=-1 na forma proposta, concluímos
a \propto v^{2}\,r^{-1},
ou seja,
a \propto \frac{v^{2}}{r}.

Resposta

a \propto \frac{v^{2}}{r}.

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