Questão 3
( 1,0 ponto) Determine f de modo que g(f(x))=x para todo x in Dom(f), sendo g dada por
g(x)=x+2x+1
Determine também, Dom(f) e Im(f).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a função $ f $ tal que, quando a gente aplica $ g $ em $ f(x) $, o resultado seja $ x $ para todo $ x $ no domínio de $ f $. Isso envolve conceitos de funções inversas. Então, vamos precisar entender como achar a função inversa e determinar o domínio e a imagem dessa função $ f $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que $ g(f(x)) = x $. Isso quer dizer que $ f $ é a função inversa de $ g $. Ou seja, $ f = g^{-1} $. Para achar a inversa, vamos trocar $ x $ por $ y $ e resolver para $ y $.

Passo 3

Começamos com a função $ g $:
g
Queremos encontrar $ y $ em função de $ x $, onde $ g(y) = x $. Então, escrevemos:
g(y) = y + 2y + 1

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para $ y $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ y + 1 $ para eliminar o denominador:
y
Distribuindo o $ x $:
y + 1

Passo 5

Vamos isolar os termos com $ y $ de um lado e os demais do outro:
y
Fatorando $ y $ no lado esquerdo:
xy - y = 2 - x

Passo 6

Agora, basta dividir ambos os lados por $ x - 1 $ para encontrar $ y $:
x - 1
Podemos simplificar esse resultado multiplicando numerador e denominador por -1:
y

Passo 7

Então, a função inversa $ f $ é:
f

Passo 8

Agora, vamos determinar o domínio de $ f $. O denominador não pode ser zero, então:
f
Portanto, o domínio de $ f $ é todos os reais exceto $ x = 1 $:
x - 1 neq 0 Rightarrow x neq 1

Passo 9

Para encontrar a imagem de $ f $, observamos que $ f $ é a inversa de $ g $. O domínio de $ f $ será a imagem de $ g $. Vamos ver para quais valores $ g(y) $ não está definida. O denominador de $ g(y) $ é $ y + 1 $, que não pode ser zero, então $ y \neq -1 $. Calculando $ g(-1) $:
f
Isso significa que $ g(y) $ nunca atinge o valor quando $ y = -1 $, ou seja, $ g(y) $ nunca será igual a 1. Portanto, a imagem de $ f $ é todos os reais exceto 1:
f

Resposta

f(x) = 2 - xx - 1
Dom(f) = R setminus 1
Im(f) = R setminus 1

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