Questão 3
( 1,0 ponto) Determine
de modo que
para todo
, sendo
dada por
Determine também,
e
.
( 1,0 ponto) Determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a função $ f $ tal que, quando a gente aplica $ g $ em $ f(x) $, o resultado seja $ x $ para todo $ x $ no domínio de $ f $. Isso envolve conceitos de funções inversas. Então, vamos precisar entender como achar a função inversa e determinar o domínio e a imagem dessa função $ f $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que $ g(f(x)) = x $. Isso quer dizer que $ f $ é a função inversa de $ g $. Ou seja, $ f = g^{-1} $. Para achar a inversa, vamos trocar $ x $ por $ y $ e resolver para $ y $.
Passo 3
Começamos com a função $ g $:
Queremos encontrar $ y $ em função de $ x $, onde $ g(y) = x $. Então, escrevemos:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para $ y $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ y + 1 $ para eliminar o denominador:
Distribuindo o $ x $:
Passo 5
Vamos isolar os termos com $ y $ de um lado e os demais do outro:
Fatorando $ y $ no lado esquerdo:
Passo 6
Agora, basta dividir ambos os lados por $ x - 1 $ para encontrar $ y $:
Podemos simplificar esse resultado multiplicando numerador e denominador por -1:
Passo 7
Então, a função inversa $ f $ é:
Passo 8
Agora, vamos determinar o domínio de $ f $. O denominador não pode ser zero, então:
Portanto, o domínio de $ f $ é todos os reais exceto $ x = 1 $:
Passo 9
Para encontrar a imagem de $ f $, observamos que $ f $ é a inversa de $ g $. O domínio de $ f $ será a imagem de $ g $. Vamos ver para quais valores $ g(y) $ não está definida. O denominador de $ g(y) $ é $ y + 1 $, que não pode ser zero, então $ y \neq -1 $. Calculando $ g(-1) $:
Isso significa que $ g(y) $ nunca atinge o valor quando $ y = -1 $, ou seja, $ g(y) $ nunca será igual a 1. Portanto, a imagem de $ f $ é todos os reais exceto 1: