Questão 1
(2,0 pontos) Achar o conjunto solução das seguintes desigualdades:
(2,0 pontos) Achar o conjunto solução das seguintes desigualdades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para achar o conjunto solução da desigualdade:
Estamos trabalhando com funções valor absoluto. O que precisamos fazer é entender como essas expressões se comportam e encontrar os valores de $ x $ que satisfazem a desigualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos críticos onde cada valor absoluto muda de comportamento. Esses pontos são quando a expressão dentro do valor absoluto é zero:
- $ x - 1 = 0 $ → $ x = 1 $
- $ x - 2 = 0 $ → $ x = 2 $
- $ x - 3 = 0 $ → $ x = 3 $
Esses pontos dividem a linha dos números em intervalos onde podemos simplificar os valores absolutos.
Passo 3
Vamos dividir a resolução nos seguintes intervalos:
- $ x < 1 $
- $ 1 \leq x < 2 $
- $ 2 \leq x < 3 $
- $ x \geq 3 $
Em cada intervalo, vamos remover os valores absolutos considerando se a expressão dentro é positiva ou negativa.
Passo 4
Intervalo 1: $ x < 1 $
Aqui, todas as expressões dentro dos valores absolutos são negativas:
Somando:
Então, a desigualdade fica:
Mas lembrando que estamos no intervalo $ x < 1 $, então a solução nesse intervalo é:
Passo 5
Intervalo 2: $ 1 \leq x < 2 $
Aqui, $ x - 1 \geq 0 $ e as outras expressões ainda são negativas:
Somando:
Desigualdade:
No intervalo $ 1 \leq x < 2 $, a solução é todo o intervalo:
Passo 6
Intervalo 3: $ 2 \leq x < 3 $
Agora, $ x - 1 \geq 0 $ e $ x - 2 \geq 0 $, mas $ x - 3 < 0 $:
Somando:
A desigualdade fica:
Como estamos no intervalo $ 2 \leq x < 3 $, a solução é todo o intervalo:
Passo 7
Intervalo 4: $ x \geq 3 $
Todas as expressões dentro dos valores absolutos são positivas:
Somando:
Desigualdade:
No intervalo $ x \geq 3 $, $ \frac{8}{3} \approx 2.666 $, então a solução é:
Resposta
O conjunto solução da desigualdade é:
Ou, de forma simplificada:
Isso significa que todo número real satisfaz a desigualdade $ |x-1| + |x-2| + |x-3| \geq 2 $.