Questão 1
(2,0 pontos) Achar o conjunto solução das seguintes desigualdades:
|x-1|+|x-2|+|x-3| >= 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para achar o conjunto solução da desigualdade:
|x-1| + |x-2| + |x-3| >= 2
Estamos trabalhando com funções valor absoluto. O que precisamos fazer é entender como essas expressões se comportam e encontrar os valores de $ x $ que satisfazem a desigualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos críticos onde cada valor absoluto muda de comportamento. Esses pontos são quando a expressão dentro do valor absoluto é zero:
  • $ x - 1 = 0 $ → $ x = 1 $
  • $ x - 2 = 0 $ → $ x = 2 $
  • $ x - 3 = 0 $ → $ x = 3 $
Esses pontos dividem a linha dos números em intervalos onde podemos simplificar os valores absolutos.

Passo 3

Vamos dividir a resolução nos seguintes intervalos:
  1. $ x < 1 $
  2. $ 1 \leq x < 2 $
  3. $ 2 \leq x < 3 $
  4. $ x \geq 3 $
Em cada intervalo, vamos remover os valores absolutos considerando se a expressão dentro é positiva ou negativa.

Passo 4

Intervalo 1: $ x < 1 $
Aqui, todas as expressões dentro dos valores absolutos são negativas:
x < 1
Somando:
|x-1| = -(x-1) = 1 - x |x-2| = -(x-2) = 2 - x |x-3| = -(x-3) = 3 - x
Então, a desigualdade fica:
(1 - x) + (2 - x) + (3 - x) = 6 - 3x
Mas lembrando que estamos no intervalo $ x < 1 $, então a solução nesse intervalo é:
6 - 3x >= 2 6 - 2 >= 3x 4 >= 3x x <= 43

Passo 5

Intervalo 2: $ 1 \leq x < 2 $
Aqui, $ x - 1 \geq 0 $ e as outras expressões ainda são negativas:
1 <= x < 2
Somando:
x - 1 >= 0
Desigualdade:
|x-1| = x - 1 |x-2| = 2 - x |x-3| = 3 - x
No intervalo $ 1 \leq x < 2 $, a solução é todo o intervalo:
(x - 1) + (2 - x) + (3 - x) = 4 - x

Passo 6

Intervalo 3: $ 2 \leq x < 3 $
Agora, $ x - 1 \geq 0 $ e $ x - 2 \geq 0 $, mas $ x - 3 < 0 $:
2 <= x < 3
Somando:
x - 1 >= 0
A desigualdade fica:
x - 2 >= 0
Como estamos no intervalo $ 2 \leq x < 3 $, a solução é todo o intervalo:
x - 3 < 0

Passo 7

Intervalo 4: $ x \geq 3 $
Todas as expressões dentro dos valores absolutos são positivas:
x >= 3
Somando:
|x-1| = x - 1 |x-2| = x - 2 |x-3| = x - 3
Desigualdade:
(x - 1) + (x - 2) + (x - 3) = 3x - 6
No intervalo $ x \geq 3 $, $ \frac{8}{3} \approx 2.666 $, então a solução é:
3x - 6 >= 2 3x >= 8 x >= 83

Resposta

O conjunto solução da desigualdade é:
x < 1 ou 1 <= x < 3 ou x >= 3
Ou, de forma simplificada:
x in R
Isso significa que todo número real satisfaz a desigualdade $ |x-1| + |x-2| + |x-3| \geq 2 $.

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