Questão 3. (3,0 pontos) Calcule o valor de cada limite, se ele existir, justificando a sua resposta.
\lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{x}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite unilaterial esquerdo
\lim_{x\rightarrow 3^{-}} \frac{x}{x-3}.
Informações dadas pelo enunciado:
  • A expressão a ser analisada é \dfrac{x}{x-3}.
  • O ponto de aproximação é x=3, aproximando-se pela esquerda (ou seja, valores de x ligeiramente menores que 3).
  • A resposta pode ser um número finito, ou pode não existir no conjunto dos números reais (por exemplo, tender para +\infty ou -\infty).

Passo 2

Entender o comportamento das partes da fração quando x se aproxima de 3 pela esquerda.
  • O numerador x tende para 3 quando x\rightarrow 3^{-}. Em símbolos: x\rightarrow 3.
  • O denominador x-3 tende para 0 quando x\rightarrow 3. Como estamos vindo pela esquerda, x<3 e, portanto, x-3 é negativo e tende para 0 por valores negativos. Em símbolos: x-3\rightarrow 0^{-}.

Passo 3

Regra qualitativa: se o numerador tende para um número finito não nulo e o denominador tende para 0, então o quociente tende para infinito em módulo; o sinal do infinito depende do sinal do numerador e do sinal do denominador.
  • Aqui, o numerador tende para 3>0 (positivo).
  • O denominador tende para 0^{-} (negativo).
  • Portanto a fração tende para -\infty (valor grande em módulo com sinal negativo).

Passo 4

Fazer uma demonstração algébrica clara usando uma mudança de variável que torne explícito o comportamento infinito. Seja h=3-x. Ao aproximar x de 3 pela esquerda temos h\rightarrow 0^{+} (porque x<3 implica h>0).
Substituindo x=3-h na expressão:
\frac{x}{x-3}=\frac{3-h}{(3-h)-3}=\frac{3-h}{-h}.
Simplificando:
\frac{3-h}{-h}= -\frac{3-h}{h} = -\left(\frac{3}{h}-1\right) = -\frac{3}{h}+1.
Quando h\rightarrow 0^{+} temos \dfrac{3}{h}\rightarrow +\infty, logo -\dfrac{3}{h}\rightarrow -\infty. Somando +1 não altera o comportamento dominante, portanto
-\frac{3}{h}+1 \longrightarrow -\infty.
Isto mostra rigorosamente que
\lim_{x\rightarrow 3^{-}} \frac{x}{x-3} = -\infty.

Passo 5

Verificação numérica rápida para intuição (opcional, mas ajuda a fixar): tomar x=2{,}9, x=2{,}99, x=2{,}999.
  • Para x=2{,}9: \dfrac{2{,}9}{2{,}9-3}=\dfrac{2{,}9}{-0{,}1}=-29.
  • Para x=2{,}99: \dfrac{2{,}99}{-0{,}01}=-299.
  • Para x=2{,}999: \dfrac{2{,}999}{-0{,}001}=-2999.
    Os valores ficam cada vez mais negativos, confirmando que a expressão diverge para -\infty ao aproximar x de 3 pela esquerda.

Resposta

-\infty