Questão 3. (3,0 pontos) Calcule o valor de cada limite, se ele existir, justificando a sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite unilaterial esquerdo
Informações dadas pelo enunciado:
- A expressão a ser analisada é
. - O ponto de aproximação é
, aproximando-se pela esquerda (ou seja, valores de ligeiramente menores que ). - A resposta pode ser um número finito, ou pode não existir no conjunto dos números reais (por exemplo, tender para
ou ).
Passo 2
Entender o comportamento das partes da fração quando
se aproxima de
pela esquerda.
- O numerador
tende para quando . Em símbolos: . - O denominador
tende para quando . Como estamos vindo pela esquerda, e, portanto, é negativo e tende para por valores negativos. Em símbolos: .
Passo 3
Regra qualitativa: se o numerador tende para um número finito não nulo e o denominador tende para
, então o quociente tende para infinito em módulo; o sinal do infinito depende do sinal do numerador e do sinal do denominador.
- Aqui, o numerador tende para
(positivo). - O denominador tende para
(negativo). - Portanto a fração tende para
(valor grande em módulo com sinal negativo).
Passo 4
Fazer uma demonstração algébrica clara usando uma mudança de variável que torne explícito o comportamento infinito. Seja
. Ao aproximar
de
pela esquerda temos
(porque
implica
).
Substituindo na expressão:
Substituindo
Simplificando:
Quando
temos
, logo
. Somando
não altera o comportamento dominante, portanto
Isto mostra rigorosamente que
Passo 5
Verificação numérica rápida para intuição (opcional, mas ajuda a fixar): tomar
,
,
.
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Os valores ficam cada vez mais negativos, confirmando que a expressão diverge paraao aproximar de pela esquerda.