Responda aos itens abaixo:
Utilize a definição formal de continuidade em um ponto para mostrar que a função f(x)=\sqrt[3]{x-1} é contínua no ponto \mathrm{x}=1.
Passo 1
O enunciado nos dá a função f(x)=\sqrt[3]{x-1} e pede explicitamente: "Utilize a definição formal de continuidade em um ponto para mostrar que a função f(x)=\sqrt[3]{x-1} é contínua no ponto \mathrm{x}=1".
Informações relevantes fornecidas:
A função considerada é f(x)=\sqrt[3]{x-1}.
O ponto em que devemos provar continuidade é x=1.
Devemos usar a definição formal (épsilon‑delta) de continuidade em um ponto.
Passo 2
Lembrando a definição formal de continuidade em um ponto (vou explicar cada símbolo): dizemos que f é contínua em a se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que |x-a|<\delta, vale |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
Aqui:
\varepsilon é a precisão desejada no valor de f(x) em torno de f(a).
\delta é a tolerância no domínio em torno de a que garante essa precisão.
Nosso objetivo é, dado um \varepsilon>0 arbitrário, encontrar um \delta>0 que satisfaça a condição acima para a=1 e f(x)=\sqrt[3]{x-1}.
Uma propriedade simples das raízes ímpares é que \bigl|\sqrt[3]{u}\bigr|=|u|^{1/3} para todo u\in\mathbb{R}. Aplicando com u=x-1 obtemos
\bigl|\sqrt[3]{x-1}\bigr|=|x-1|^{1/3}.
Passo 4
Agora fazemos a escolha natural de \delta em função de \varepsilon. Queremos garantir |x-1|^{1/3}<\varepsilon. Elevando ambos os lados ao cubo (função crescente para números não negativos), essa desigualdade é equivalente a |x-1|<\varepsilon^{3}. Portanto, basta tomar
\delta=\varepsilon^{3}.
Observações: \varepsilon>0 implica \delta=\varepsilon^{3}>0, então é uma escolha válida. Agora verifiquemos a implicação: se |x-1|<\delta então
Isso é exatamente a condição da definição de continuidade com a=1.
Passo 5
Concluímos que, para todo \varepsilon>0 escolhendo \delta=\varepsilon^{3}, sempre que |x-1|<\delta temos |f(x)-f(1)|<\varepsilon. Assim a condição é satisfeita e f é contínua em x=1. (Na verdade este argumento mostra continuidade em todo x, mas aqui basta o ponto pedido.)