Questão 1. (3,0 pontos). Considere as funções f(x), g(x) e h(x) definidas pelas seguintes expressões:
f(x)=\sqrt[3]{x-1} \quad, \quad g(x)=\frac{(x-2)(x+3)}{x^{2}-6 x+8}
, e
h(x)=\sqrt{4-x^{2}}
Responda aos itens abaixo:
Utilize a definição formal de continuidade em um ponto para mostrar que a função f(x)=\sqrt[3]{x-1} é contínua no ponto \mathrm{x}=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=\sqrt[3]{x-1} e pede explicitamente: "Utilize a definição formal de continuidade em um ponto para mostrar que a função f(x)=\sqrt[3]{x-1} é contínua no ponto \mathrm{x}=1".
Informações relevantes fornecidas:
  • A função considerada é f(x)=\sqrt[3]{x-1}.
  • O ponto em que devemos provar continuidade é x=1.
  • Devemos usar a definição formal (épsilon‑delta) de continuidade em um ponto.

Passo 2

Lembrando a definição formal de continuidade em um ponto (vou explicar cada símbolo): dizemos que f é contínua em a se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que |x-a|<\delta, vale |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
Aqui:
  • \varepsilon é a precisão desejada no valor de f(x) em torno de f(a).
  • \delta é a tolerância no domínio em torno de a que garante essa precisão.
    Nosso objetivo é, dado um \varepsilon>0 arbitrário, encontrar um \delta>0 que satisfaça a condição acima para a=1 e f(x)=\sqrt[3]{x-1}.

Passo 3

Calculemos primeiro o valor de f no ponto:
f(1)=\sqrt[3]{1-1}=\sqrt[3]{0}=0.
Queremos controlar |f(x)-f(1)|, ou seja:
|f(x)-f(1)|=\bigl|\sqrt[3]{x-1}-0\bigr|=\bigl|\sqrt[3]{x-1}\bigr|.
Uma propriedade simples das raízes ímpares é que \bigl|\sqrt[3]{u}\bigr|=|u|^{1/3} para todo u\in\mathbb{R}. Aplicando com u=x-1 obtemos
\bigl|\sqrt[3]{x-1}\bigr|=|x-1|^{1/3}.

Passo 4

Agora fazemos a escolha natural de \delta em função de \varepsilon. Queremos garantir |x-1|^{1/3}<\varepsilon. Elevando ambos os lados ao cubo (função crescente para números não negativos), essa desigualdade é equivalente a |x-1|<\varepsilon^{3}. Portanto, basta tomar
\delta=\varepsilon^{3}.
Observações: \varepsilon>0 implica \delta=\varepsilon^{3}>0, então é uma escolha válida. Agora verifiquemos a implicação: se |x-1|<\delta então
|f(x)-f(1)|=|x-1|^{1/3}<\delta^{1/3}=(\varepsilon^{3})^{1/3}=\varepsilon.
Isso é exatamente a condição da definição de continuidade com a=1.

Passo 5

Concluímos que, para todo \varepsilon>0 escolhendo \delta=\varepsilon^{3}, sempre que |x-1|<\delta temos |f(x)-f(1)|<\varepsilon. Assim a condição é satisfeita e f é contínua em x=1. (Na verdade este argumento mostra continuidade em todo x, mas aqui basta o ponto pedido.)

Resposta

A função f(x)=\sqrt[3]{x-1} é contínua em x=1.

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