Questão 1. (3,0 pontos). Considere as funções f(x), g(x) e h(x) definidas pelas seguintes expressões:
f(x)=\sqrt[3]{x-1} \quad, \quad g(x)=\frac{(x-2)(x+3)}{x^{2}-6 x+8}
, e
h(x)=\sqrt{4-x^{2}}
Responda aos itens abaixo:
Determine em quais pontos a função g(x)=\frac{(x-2)(x+3)}{x^{2}-6 x+8} é descontínua.

Passo 1

O enunciado pede: determinar em quais pontos a função g(x)=\dfrac{(x-2)(x+3)}{x^{2}-6x+8} é descontínua.
Informações fornecidas:
  • A expressão de g(x) é \dfrac{(x-2)(x+3)}{x^{2}-6x+8}.

Passo 2

Primeiro passo técnico: encontrar o domínio de g. A função racional está definida sempre que o denominador for diferente de zero. Então resolvo
x^{2}-6x+8=0.
Fatorando o polinômio:
x^{2}-6x+8=(x-2)(x-4).
As raízes são x=2 e x=4. Portanto o denominador é zero em x=2 e x=4, e o domínio de g é
\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{2,4\}.
Conclusão prática: qualquer descontinuidade só pode ocorrer em x=2 ou x=4.

Passo 3

Agora simplifico a expressão quando possível, lembrando que só é permitido cancelar fatores quando não se está no ponto em que o fator vale zero. Escrevo
g(x)=\frac{(x-2)(x+3)}{(x-2)(x-4)} \quad\text{para }x\neq2.
Cancelando o fator (x-2) (válido apenas para x\neq2) obtenho a forma simplificada
g(x)=\frac{x+3}{x-4}\quad\text{para }x\neq2.
Observação importante: a igualdade entre as expressões vale somente para x\neq2; em x=2 a expressão original é indefinida.

Passo 4

Relembrando um fato útil: funções racionais (razões de polinômios) são contínuas em todo ponto do seu domínio. Assim, como o domínio de g exclui 2 e 4, a função é contínua em todos os pontos de \mathbb{R} exceto possivelmente em 2 e 4. Restam agora analisar a natureza da descontinuidade em cada um desses pontos.

Passo 5

Análise em x=2:
  • A função original não está definida em x=2 (divisão por zero), logo não pode ser contínua ali como dada.
  • Calculo o limite quando x\to2. Como para x\neq2 podemos usar a forma simplificada,
\lim_{x\to2} g(x)=\lim_{x\to2}\frac{x+3}{x-4}=\frac{2+3}{2-4}=\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}.
O limite existe e é finito, mas g(2) não está definido. Isso caracteriza uma descontinuidade removível (um “buraco” no gráfico). Se alguém definisse g(2)=-\tfrac{5}{2} a função ficaria contínua em 2.

Passo 6

Análise em x=4:
  • A função original também não está definida em x=4.
  • Uso a forma simplificada para x próximos de 4 (lembrando que a simplificação é válida para x\neq2, e aqui 4\neq2, então vale):
\frac{x+3}{x-4}.
Ao aproximar x de 4 o numerador tende a 7 e o denominador tende a 0. Mais precisamente:
\lim_{x\to4^-}\frac{x+3}{x-4}=\frac{7}{\text{pequeno negativo}}=-\infty, \qquad \lim_{x\to4^+}\frac{x+3}{x-4}=\frac{7}{\text{pequeno positivo}}=+\infty.
As duas limites laterais divergem com sinais opostos, não existe limite finito em x=4. Isso é uma descontinuidade não removível do tipo assíntota vertical (ou descontinuidade infinita).

Passo 7

Resumo e interpretação prática:
  • Em x=2: limite finito \lim_{x\to2}g(x)=-\tfrac{5}{2}, mas g(2) é indefinida → descontinuidade removível (buraco).
  • Em x=4: limite não existe (diverge para \pm\infty) → descontinuidade não removível (assíntota vertical).

Resposta

g(x) é descontínua em x=2 (descontinuidade removível) e em x=4 (descontinuidade infinita / assíntota vertical).

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