Questão 1. (3,0 pontos). Considere as funções
e
definidas pelas seguintes expressões:
, e
Responda aos itens abaixo:
Determine em quais pontos a função
é descontínua.
Determine em quais pontos a função
Passo 1
O enunciado pede: determinar em quais pontos a função
é descontínua.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A expressão de
é .
Passo 2
Primeiro passo técnico: encontrar o domínio de
. A função racional está definida sempre que o denominador for diferente de zero. Então resolvo
Fatorando o polinômio:
As raízes são
e
. Portanto o denominador é zero em
e
, e o domínio de
é
Conclusão prática: qualquer descontinuidade só pode ocorrer em
ou
.
Passo 3
Agora simplifico a expressão quando possível, lembrando que só é permitido cancelar fatores quando não se está no ponto em que o fator vale zero. Escrevo
Cancelando o fator
(válido apenas para
) obtenho a forma simplificada
Observação importante: a igualdade entre as expressões vale somente para
; em
a expressão original é indefinida.
Passo 4
Relembrando um fato útil: funções racionais (razões de polinômios) são contínuas em todo ponto do seu domínio. Assim, como o domínio de
exclui
e
, a função é contínua em todos os pontos de
exceto possivelmente em
e
. Restam agora analisar a natureza da descontinuidade em cada um desses pontos.
Passo 5
Análise em
:
- A função original não está definida em
(divisão por zero), logo não pode ser contínua ali como dada. - Calculo o limite quando
. Como para podemos usar a forma simplificada,
O limite existe e é finito, mas
não está definido. Isso caracteriza uma descontinuidade removível (um “buraco” no gráfico). Se alguém definisse
a função ficaria contínua em
.
Passo 6
Análise em
:
- A função original também não está definida em
. - Uso a forma simplificada para
próximos de (lembrando que a simplificação é válida para , e aqui , então vale):
Ao aproximar
de
o numerador tende a
e o denominador tende a
. Mais precisamente:
As duas limites laterais divergem com sinais opostos, não existe limite finito em
. Isso é uma descontinuidade não removível do tipo assíntota vertical (ou descontinuidade infinita).
Passo 7
Resumo e interpretação prática:
- Em
: limite finito , mas é indefinida → descontinuidade removível (buraco). - Em
: limite não existe (diverge para ) → descontinuidade não removível (assíntota vertical).