(a) Encontre todos os pontos críticos de f e calcule o Hessiano H_{f}(x, y) nesses pontos.
(b) Classifique cada ponto crítico como máximo, mínimo ou sela, justificando pelo determinante do Hessiano. Interprete geometricamente um dos pontos de sela encontrados.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras: (a) encontrar todos os pontos críticos de f e calcular o Hessiano H_{f}(x,y) nesses pontos; (b) classificar cada ponto crítico como máximo, mínimo ou sela usando o determinante do Hessiano e interpretar geometricamente um dos pontos de sela.
Dados relevantes: a função é
f(x,y)=x^{3}+y^{3}-3xy.
Não há outras informações (por exemplo restrições no domínio), então trabalharemos em \mathbb{R}^{2}.
Passo 2
O que é um ponto crítico e como achar?
Um ponto crítico é um ponto onde o gradiente de f é o vetor nulo (ou onde as derivadas parciais não existem, o que não ocorre aqui). O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
Como \det H_{f}(0,0)=-9<0, pelo teste do Hessiano para duas variáveis temos que (0,0) é um ponto de sela (saddle): determinante negativa indica curvaturas em sinais opostos em direções distintas.]
Quando \det H>0 o sinal de \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} (o elemento a da matriz) determina se é mínimo ou máximo: se a>0 temos mínimo local; se a<0 máximo local. Aqui a=6>0, logo (1,1) é um mínimo local.]
Passo 8
Complemento didático sobre por que (0,0) é sela (interpretação geométrica). Uma forma simples de ver comportamento em direções diferentes é restringir f a linhas através de (0,0):
Ao longo do eixo x (tomando y=0) temos
f(x,0)=x^{3}.
Perto de x=0, se x>0 pequeno então f(x,0)>0; se x<0 pequeno então f(x,0)<0. Então em direção ao eixo x a função aumenta para a direita e diminui para a esquerda.
Ao longo da reta y=x temos
f(x,x)=2x^{3}-3x^{2}=x^{2}(2x-3).
Perto de x=0 (pequenos x), o termo 2x-3 é negativo, então f(x,x)\approx -3x^{2}\le 0 para x próximo de 0 (não zero), isto é, nessa direção f fica negativo para pequenos deslocamentos em ambos sentidos. Logo existem direções onde f diminui ao sair de (0,0) e outras onde f aumenta — isso é a característica de uma sela.
Portanto geometricamente (0,0) é um ponto onde a superfície sobe em algumas direções e desce em outras, como uma sela de cavalo.
Passo 9
Comentário prático para prova (resumo do teste do Hessiano em duas variáveis):
No nosso problema aplicamos exatamente esse procedimento.
Resposta
(a) Pontos críticos: (0,0) e (1,1). Hessiano geral \displaystyle H_{f}(x,y)=\begin{pmatrix}6x & -3\\[6pt]-3 & 6y\end{pmatrix}. Em (0,0): H_{f}(0,0)=\begin{pmatrix}0 & -3\\[6pt]-3 & 0\end{pmatrix}. Em (1,1): H_{f}(1,1)=\begin{pmatrix}6 & -3\\[6pt]-3 & 6\end{pmatrix}.
(b) Classificação: (0,0) é ponto de sela (pois \det H_{f}(0,0)=-9<0). (1,1) é mínimo local (pois \det H_{f}(1,1)=27>0 e \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(1,1)=6>0). Geometricamente, em (0,0) a superfície tem direções onde sobe e direções onde desce (ex.: ao longo do eixo xf(x,0)=x^{3}, ao longo de y=xf(x,x)=x^{2}(2x-3), mostrando sinais opostos).]