Questão 3 - Pontos críticos e Hessiano

Considere a função
f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3 x y .
(a) Encontre todos os pontos críticos de f e calcule o Hessiano H_{f}(x, y) nesses pontos.
(b) Classifique cada ponto crítico como máximo, mínimo ou sela, justificando pelo determinante do Hessiano. Interprete geometricamente um dos pontos de sela encontrados.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras: (a) encontrar todos os pontos críticos de f e calcular o Hessiano H_{f}(x,y) nesses pontos; (b) classificar cada ponto crítico como máximo, mínimo ou sela usando o determinante do Hessiano e interpretar geometricamente um dos pontos de sela.
Dados relevantes: a função é
f(x,y)=x^{3}+y^{3}-3xy.
Não há outras informações (por exemplo restrições no domínio), então trabalharemos em \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

O que é um ponto crítico e como achar?
Um ponto crítico é um ponto onde o gradiente de f é o vetor nulo (ou onde as derivadas parciais não existem, o que não ocorre aqui). O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)\\[6pt]\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\end{pmatrix}.
Vamos calcular as derivadas parciais de f. Derivando termo a termo:
\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3x^{2}-3y,
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3y^{2}-3x.
Explico rapidinho: por exemplo, \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2} e \dfrac{d}{dx}(-3xy)=-3y porque y é tratado como constante ao derivar em relação a x.]

Passo 3

Para pontos críticos resolvemos o sistema \nabla f(x,y)=0, isto é
3x^{2}-3y=0,\qquad 3y^{2}-3x=0.
Dividindo cada equação por 3 (permitido porque 3\neq0), obtemos o sistema mais simples
x^{2}-y=0,\qquad y^{2}-x=0.
Da primeira equação temos y=x^{2}. Substituindo na segunda:
(x^{2})^{2}-x=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{4}-x=0.
Fatorando:
x(x^{3}-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x^{3}=1.
Como estamos em reais, x^{3}=1 tem solução real x=1. Portanto x=0 ou x=1.

Passo 4

Encontrando y correspondente usando y=x^{2}:
  • Se x=0 então y=0^{2}=0, ponto crítico (0,0).
  • Se x=1 então y=1^{2}=1, ponto crítico (1,1).
    Concluímos que os pontos críticos reais são
(0,0)\quad\text{e}\quad(1,1).

Passo 5

Agora vamos ao Hessiano. O Hessiano de f é a matriz das segundas derivadas parciais:
H_{f}(x,y)=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} & \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\\[6pt] \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} & \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix}.
Calculando as segundas derivadas a partir das parciais já obtidas:
\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)=6x,\qquad \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y)=6y,
\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}(3x^{2}-3y)=-3,
\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}(3y^{2}-3x)=-3.
Portanto, a forma geral do Hessiano é
H_{f}(x,y)=\begin{pmatrix}6x & -3\\[6pt]-3 & 6y\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calculemos o Hessiano em cada ponto crítico e o determinante (que usamos para classificar). Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}
o determinante é ad-bc. No caso simétrico b=c fica ad-b^{2}.
Primeiro em (0,0):
H_{f}(0,0)=\begin{pmatrix}6\cdot 0 & -3\\[6pt]-3 & 6\cdot 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & -3\\[6pt]-3 & 0\end{pmatrix}.
O determinante é
\det H_{f}(0,0)=0\cdot 0-(-3)\cdot(-3)=-9.
Como \det H_{f}(0,0)=-9<0, pelo teste do Hessiano para duas variáveis temos que (0,0) é um ponto de sela (saddle): determinante negativa indica curvaturas em sinais opostos em direções distintas.]

Passo 7

Agora em (1,1):
H_{f}(1,1)=\begin{pmatrix}6\cdot 1 & -3\\[6pt]-3 & 6\cdot 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & -3\\[6pt]-3 & 6\end{pmatrix}.
O determinante é
\det H_{f}(1,1)=6\cdot 6-(-3)\cdot(-3)=36-9=27>0.
Quando \det H>0 o sinal de \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} (o elemento a da matriz) determina se é mínimo ou máximo: se a>0 temos mínimo local; se a<0 máximo local. Aqui a=6>0, logo (1,1) é um mínimo local.]

Passo 8

Complemento didático sobre por que (0,0) é sela (interpretação geométrica). Uma forma simples de ver comportamento em direções diferentes é restringir f a linhas através de (0,0):
  • Ao longo do eixo x (tomando y=0) temos
f(x,0)=x^{3}.
Perto de x=0, se x>0 pequeno então f(x,0)>0; se x<0 pequeno então f(x,0)<0. Então em direção ao eixo x a função aumenta para a direita e diminui para a esquerda.
  • Ao longo da reta y=x temos
f(x,x)=2x^{3}-3x^{2}=x^{2}(2x-3).
Perto de x=0 (pequenos x), o termo 2x-3 é negativo, então f(x,x)\approx -3x^{2}\le 0 para x próximo de 0 (não zero), isto é, nessa direção f fica negativo para pequenos deslocamentos em ambos sentidos. Logo existem direções onde f diminui ao sair de (0,0) e outras onde f aumenta — isso é a característica de uma sela.
Portanto geometricamente (0,0) é um ponto onde a superfície sobe em algumas direções e desce em outras, como uma sela de cavalo.

Passo 9

Comentário prático para prova (resumo do teste do Hessiano em duas variáveis):
\text{Se } \det H(x_0,y_0)<0\Rightarrow\text{sela.}
\text{Se } \det H(x_0,y_0)>0\text{ e }f_{xx}(x_0,y_0)>0\Rightarrow\text{mínimo local.}í
\text{Se } \det H(x_0,y_0)>0\text{ e }f_{xx}(x_0,y_0)<0\Rightarrow\text{máximo local.}á
\text{Se } \det H(x_0,y_0)=0\Rightarrow\text{teste inconclusivo.}
No nosso problema aplicamos exatamente esse procedimento.

Resposta

(a) Pontos críticos: (0,0) e (1,1). Hessiano geral \displaystyle H_{f}(x,y)=\begin{pmatrix}6x & -3\\[6pt]-3 & 6y\end{pmatrix}. Em (0,0): H_{f}(0,0)=\begin{pmatrix}0 & -3\\[6pt]-3 & 0\end{pmatrix}. Em (1,1): H_{f}(1,1)=\begin{pmatrix}6 & -3\\[6pt]-3 & 6\end{pmatrix}.
(b) Classificação: (0,0) é ponto de sela (pois \det H_{f}(0,0)=-9<0). (1,1) é mínimo local (pois \det H_{f}(1,1)=27>0 e \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(1,1)=6>0). Geometricamente, em (0,0) a superfície tem direções onde sobe e direções onde desce (ex.: ao longo do eixo x f(x,0)=x^{3}, ao longo de y=x f(x,x)=x^{2}(2x-3), mostrando sinais opostos).]

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