- Questão 3 (2 pontos). Encontre a solução geral da equação diferencial abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
.
Informações explícitas que temos:
Informações explícitas que temos:
- A incógnita é a função
. -
significa . - A equação relaciona
, sua derivada e . - Não há condições iniciais dadas (logo queremos a família geral de soluções com uma constante arbitrária).
Passo 2
Vamos começar manipulando a equação para deixá‑la em forma que possamos integrar. Primeiro escrevo
como
para lembrar que estamos separando variáveis:
Agora o objetivo é colocar todos os termos em
com
de um lado e todos os termos em
com
do outro (separação de variáveis). Para isso multiplico ambos os lados por
e por
:
Essa forma está separada: lado esquerdo só depende de
, lado direito só de
.
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. Vou explicar a integral do lado esquerdo com calma. Observamos a integral
Fazemos a substituição clássica
. Então
, ou seja
. Substituindo:
No lado direito temos uma integral direta:
Igualando as duas primitivas (absorvendo constantes em uma só constante) obtemos:
onde
é uma constante arbitrária (resultado de
).
Passo 4
Multiplico por
para simplificar:
onde renomeei a constante
por
(a constante geral). Agora isolamos
. Como
, o lado direito deve ser positivo no domínio considerado. Tomamos logaritmo natural:
Finalmente extraímos a raiz quadrada (duas possibilidades de sinal), obtendo a família geral:
Devemos lembrar que a solução só é válida onde o argumento do logaritmo é positivo:
Passo 5
Resumo didático e dicas para a prova:
- Ao ver um produto
é útil pensar em para tentar separar variáveis. - A substituição
é padrão quando aparece porque . - Ao integrar, sempre una as constantes de integração em uma só no final (aqui chamei de
). - Verifique o domínio: o lado direito deve ser estritamente positivo para que
esteja definido. - Se pedirem a solução implícita, também é aceitável apresentar
.