• Questão 3 (2 pontos). Encontre a solução geral da equação diferencial abaixo:
y y^{\prime}=(x-1) e^{-y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y\,y^{\prime}=(x-1)e^{-y^{2}}
e pede a solução geral y(x).
Informações explícitas que temos:
  • A incógnita é a função y(x).
  • y^{\prime} significa \dfrac{dy}{dx}.
  • A equação relaciona y, sua derivada e x.
  • Não há condições iniciais dadas (logo queremos a família geral de soluções com uma constante arbitrária).

Passo 2

Vamos começar manipulando a equação para deixá‑la em forma que possamos integrar. Primeiro escrevo y^{\prime} como \dfrac{dy}{dx} para lembrar que estamos separando variáveis:
y\frac{dy}{dx}=(x-1)e^{-y^{2}}.
Agora o objetivo é colocar todos os termos em y com dy de um lado e todos os termos em x com dx do outro (separação de variáveis). Para isso multiplico ambos os lados por e^{y^{2}} e por dx:
e^{y^{2}}\,y\,dy=(x-1)\,dx.
Essa forma está separada: lado esquerdo só depende de y, lado direito só de x.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Vou explicar a integral do lado esquerdo com calma. Observamos a integral
\int e^{y^{2}}\,y\,dy.
Fazemos a substituição clássica u=y^{2}. Então du=2y\,dy, ou seja y\,dy=\dfrac{du}{2}. Substituindo:
\int e^{y^{2}}\,y\,dy=\int e^{u}\,\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\int e^{u}\,du=\frac{1}{2}e^{u}+C_1=\frac{1}{2}e^{y^{2}}+C_1.
No lado direito temos uma integral direta:
\int (x-1)\,dx=\int x\,dx-\int 1\,dx=\frac{x^{2}}{2}-x+C_2.
Igualando as duas primitivas (absorvendo constantes em uma só constante) obtemos:
\frac{1}{2}e^{y^{2}}=\frac{x^{2}}{2}-x+C,
onde C é uma constante arbitrária (resultado de C_2-C_1).

Passo 4

Multiplico por 2 para simplificar:
e^{y^{2}}=x^{2}-2x+C',
onde renomeei a constante 2C por C' (a constante geral). Agora isolamos y. Como e^{y^{2}}>0, o lado direito deve ser positivo no domínio considerado. Tomamos logaritmo natural:
y^{2}=\ln\big(x^{2}-2x+C'\big).
Finalmente extraímos a raiz quadrada (duas possibilidades de sinal), obtendo a família geral:
y(x)=\pm\sqrt{\ln\big(x^{2}-2x+C'\big)}.
Devemos lembrar que a solução só é válida onde o argumento do logaritmo é positivo:
x^{2}-2x+C'>0.

Passo 5

Resumo didático e dicas para a prova:
  • Ao ver um produto y\,y' é útil pensar em y\,dy/dx para tentar separar variáveis.
  • A substituição u=y^{2} é padrão quando aparece e^{y^{2}}y\,dy porque du=2y\,dy.
  • Ao integrar, sempre una as constantes de integração em uma só no final (aqui chamei de C').
  • Verifique o domínio: o lado direito deve ser estritamente positivo para que \ln esteja definido.
  • Se pedirem a solução implícita, também é aceitável apresentar e^{y^{2}}=x^{2}-2x+C'.

Resposta

y(x)=\pm\sqrt{\ln\big(x^{2}-2x+C\big)}, com x^{2}-2x+C>0.