3^{a} QUESTÃO (2,0 PONTOS): Uma instalação elétrica tem as seguintes caracterisitcas: 48000
W, Tensão de Pico =480 \mathrm{~V}, 90 \mathrm{~Hz} e FP =0,75 (indutivo). Determine:
a) Valor do capacitor que aumenta o FP para 0,94
b) Potência aparente após a correção

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos (peguei tudo do enunciado):
  • Potência ativa: \,P=48000\\ \mathrm{W}.
  • Tensão de pico: \,V_{p}=480\\ \mathrm{V}.
  • Frequência: \,f=90\\ \mathrm{Hz}.
  • Fator de potência inicial (indutivo): \,\cos\varphi_1=0,75.
  • Fator de potência desejado: \,\cos\varphi_2=0,94.
O enunciado pede:
a) Valor do capacitor (capacitância) que aumenta o fator de potência de 0,75 para 0,94.
b) Potência aparente após a correção.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo):
  • Potência aparente \,S é a magnitude da combinação entre potência ativa P e reativa Q. A relação é
S=\sqrt{P^{2}+Q^{2}}.
  • Fator de potência é \cos\varphi=\dfrac{P}{S}. Assim podemos escrever
S=\frac{P}{\cos\varphi}.
  • A potência reativa (em var) pode ser obtida por
Q=P\tan\varphi,
onde \tan\varphi=\dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi} e \sin\varphi=\sqrt{1-\cos^{2}\varphi}.
  • Um capacitor conectado à rede fornece potência reativa capacitiva (negativa em relação à reativa indutiva). A potência reativa fornecida por um capacitor ideal é
Q_{C}=V_{\mathrm{rms}}^{2}\,\omega\,C,
onde \omega=2\pi f e V_{\mathrm{rms}} é a tensão eficaz da rede. Rearranjando:
C=\frac{Q_{C}}{V_{\mathrm{rms}}^{2}\,\omega}.
Observação: usamos o módulo de Q_{C} (positivo) para dimensionar a capacitância; a sua reatividade é capacitiva (sinal negativo).

Passo 3

Calcular tensão eficaz e pulsação (peguei V_{p} e f do enunciado):
  • Tensão eficaz (RMS) a partir da tensão de pico:
V_{\mathrm{rms}}=\frac{V_{p}}{\sqrt{2}}=\frac{480}{\sqrt{2}}.
Como 480^{2}=230400, temos
V_{\mathrm{rms}}^{2}=\frac{V_{p}^{2}}{2}=\frac{230400}{2}=115200\\ \mathrm{V^{2}}.
  • Pulsação:
\omega=2\pi f=2\pi\cdot 90=180\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 565{,}4866776\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Encontrar a potência reativa indutiva inicial \,Q_{1}.
  • Primeiro calcule \sin\varphi_{1} e \tan\varphi_{1} a partir de \cos\varphi_{1}=0,75:
\sin\varphi_{1}=\sqrt{1-\cos^{2}\varphi_{1}}=\sqrt{1-0{,}75^{2}}=\sqrt{1-0{,}5625}=\sqrt{0{,}4375}=0{,}6614378\ldots
\tan\varphi_{1}=\frac{\sin\varphi_{1}}{\cos\varphi_{1}}=\frac{0{,}6614378\ldots}{0{,}75}=0{,}8819171\ldots
  • Agora a reativa inicial:
Q_{1}=P\tan\varphi_{1}=48000\cdot 0{,}8819171\ldots \approx 42332{,}02\\ \mathrm{var}\quad(\text{indutivo}).

Passo 5

Encontrar a potência reativa remanescente desejada \,Q_{2} correspondente ao \cos\varphi_{2}=0,94.
  • Calcule \sin\varphi_{2} e \tan\varphi_{2}:
\sin\varphi_{2}=\sqrt{1-\cos^{2}\varphi_{2}}=\sqrt{1-0{,}94^{2}}=\sqrt{1-0{,}8836}=\sqrt{0{,}1164}=0{,}3414709\ldots
\tan\varphi_{2}=\frac{\sin\varphi_{2}}{\cos\varphi_{2}}=\frac{0{,}3414709\ldots}{0{,}94}=0{,}3630666\ldots
  • Potência reativa desejada (remanescente, ainda indutiva):
Q_{2}=P\tan\varphi_{2}=48000\cdot 0{,}3630666\ldots \approx 17427{,}19\\ \mathrm{var}.

Passo 6

Calcular a potência reativa que precisa ser compensada pelo capacitor (módulo de Q_{C}):
  • Como inicialmente a carga era indutiva ( Q_{1} positiva no sentido indutivo) e queremos reduzir a reativa para Q_{2}, o capacitor deve fornecer:
Q_{C}=Q_{1}-Q_{2}.
  • Substituindo valores:
Q_{C}\approx 42332{,}02 - 17427{,}19 = 24904{,}83\\ \mathrm{var}.
Portanto o capacitor deve fornecer aproximadamente \,24904{,}83\\ \mathrm{var} (potência reativa capacitiva em módulo).

Passo 7

Calcular a capacitância necessária usando \,C=\dfrac{Q_{C}}{V_{\mathrm{rms}}^{2}\,\omega}.
  • Já temos Q_{C}\approx 24904{,}83\\ \mathrm{var}, V_{\mathrm{rms}}^{2}=115200\\ \mathrm{V^{2}} e \omega\approx 565{,}4866776\\ \mathrm{rad/s}.
  • Denominador:
V_{\mathrm{rms}}^{2}\,\omega = 115200\cdot 565{,}4866776 \approx 65\,144\,030{,}2 .
  • Logo
C=\frac{24904{,}83}{65\,144\,030{,}2}\\ \mathrm{F}\approx 3{,}8238\times 10^{-4}\\ \mathrm{F}.
  • Convertendo para microfarads:
C\approx 382{,}38\\ \mu\mathrm{F}.
Arredondando para valores práticos, pode-se especificar um capacitor de aproximadamente \,382\\ \mu\mathrm{F} (ou combinar bancos para chegar perto desse valor).

Passo 8

Calcular a potência aparente após a correção ( S_{2}).
  • Usando \,S=\dfrac{P}{\cos\varphi} com \cos\varphi_{2}=0,94:
S_{2}=\frac{P}{\cos\varphi_{2}}=\frac{48000}{0{,}94}\approx 51063{,}83\\ \mathrm{VA}.
  • Verificação (opcional): \,S_{2}=\sqrt{P^{2}+Q_{2}^{2}}=\sqrt{48000^{2}+17427{,}19^{2}}\approx 51063{,}8\\ \mathrm{VA}, dá o mesmo resultado numericamente.

Resposta

(a) C\approx 3{,}8238\times 10^{-4}\\ \mathrm{F}\approx 382{,}4\\ \mu\mathrm{F}
(b) S_{\text{após}} \approx 51063{,}8\\ \mathrm{VA}ó

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