4^{a} QUESTÃO (2,0 PONTOS): (Uma fonte trifásica equilibrada ligada em estrela com tensão de fase V_{A N}=220 \angle 30^{\circ} \mathrm{V}, sequência ABC, |alimenta uma carga equilibrada ligada em triângulo com impedancia Z=6-j 9 \Omega por fase. \mid A impedancia da linha que liga a fonte a carga é de 4,5 +j 5,5 \Omega por fase. Determinar a potencia ativa trifasica dissipada pela carga.

Passo 1

O enunciado dá uma fonte trifásica equilibrada ligada em estrela com tensão de fase (fase para neutro)
V_{AN}=220\angle 30^\circ\\ \mathrm{V},
sequência ABC. A carga é equilibrada, ligada em triângulo, com impedância por ramo
Z_\Delta = 6 - j\,9\\ \Omega.
A impedância da linha por fase (entre fonte e cada terminal da carga) é
Z_\ell = 4{,}5 + j\,5{,}5\\ \Omega.
Pede-se: determinar a potência ativa trifásica dissipada pela carga (ou seja, a potência ativa consumida apenas pela impedância da carga, não pela linha).

Passo 2

Estratégia e ideia básica (explicação didática, sem pular etapas):
  • Em redes trifásicas equilibradas dá para fazer um circuito por fase e multiplicar por 3 no final.
  • A carga está em triângulo ( \Delta). Uma conversão útil, para calcular correntes a partir das tensões de fase (fase-neutro) da fonte e incluir a impedância série da linha por fase, é transformar a carga \Delta numa equivalente estrela ( Y). Para carga equilibrada isso preserva a potência total.
  • Regra de conversão \Delta\to Y: cada impedância da estrela é
Z_Y=\frac{Z_\Delta}{3}.
Motivo curto e intuitivo: em um sistema equilibrado as tensões de linha para a carga se distribuem de forma que a potência total do \Delta é igual à do Y com esse fator 1/3 por ramo.
  • Depois de converter, por fase teremos a sequência: fonte (tensão de fase V_{AN}) → impedância de linha Z_\ell → impedância de carga por fase Z_Y até o neutro do carregamento equivalente. Como a fonte é equilibrada e a carga equivalente também, a corrente por fase é a mesma por todo o ramo série (linha + ramo Y).
  • A potência ativa por fase dissipada na carga é P_{\text{fase}} = |I|^2 \Re(Z_Y). A potência trifásica é P_{3\varphi}=3P_{\text{fase}}.

Passo 3

Converter a carga \Delta para Y e escrever as impedâncias numéricas.
Z_\Delta = 6 - j\,9\\ \Omega.
Logo
Z_Y=\frac{Z_\Delta}{3}=\frac{6-j9}{3}=2-j3\\ \Omega.
A impedância total por fase vista pela fonte (linha em série com o ramo Y) é
Z_{\text{tot}}=Z_\ell + Z_Y = (4{,}5 + j\,5{,}5) + (2 - j\,3) = 6{,}5 + j\,2{,}5\\ \Omega.

Passo 4

Calcular a corrente por fase I_{A} (corrente de linha) usando a tensão de fase da fonte.
A corrente por fase é
I = \frac{V_{AN}}{Z_{\text{tot}}} = \frac{220\angle 30^\circ}{6{,}5 + j\,2{,}5}.
Para facilitar, passo para forma polar o denominador. O módulo e argumento de Z_{\text{tot}} são
|Z_{\text{tot}}|=\sqrt{6{,}5^{2}+2{,}5^{2}}=\sqrt{42{,}25+6{,}25}=\sqrt{48{,}5}\approx 6{,}964.
\angle Z_{\text{tot}}=\arctan\!\left(\frac{2{,}5}{6{,}5}\right)\approx 21{,}0^\circ.
Assim
I=\frac{220\angle 30^\circ}{6{,}964\angle 21{,}0^\circ}=\frac{220}{6{,}964}\angle(30^\circ-21{,}0^\circ)\approx 31{,}59\angle 9{,}0^\circ\\ \mathrm{A}.
(O valor numérico do módulo é |I|\approx 31{,}59\\ \mathrm{A}.)

Passo 5

Calcular a potência ativa por fase dissipada no ramo da carga (no Z_Y).
  • A parte resistiva de Z_Y é \Re(Z_Y)=2\\ \Omega.
  • A potência ativa por fase é
P_{\text{fase}} = |I|^{2}\,\Re(Z_Y).
Substituindo
P_{\text{fase}} \approx (31{,}59)^{2}\times 2.
Calculemos (31{,}59)^{2}\approx 997{,}94 (aproximação feita acima), então
P_{\text{fase}}\approx 997{,}94\times 2 \approx 1\,995{,}9\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Potência ativa trifásica total dissipada pela carga:
P_{3\varphi}=3\,P_{\text{fase}}\approx 3\times 1\,995{,}9 \approx 5\,987{,}7\\ \mathrm{W}.
Arredondando de forma prática, a potência ativa absorvida pela carga equilibrada é aproximadamente 5{,}99\\ \mathrm{kW}.
(Dica rápida: também dá para obter diretamente pela fórmula fechada
P_{3\varphi}=3\cdot |V_{AN}|^{2}\cdot\frac{\Re(Z_Y)}{|Z_{\text{tot}}|^{2}},
pois |I|^{2}=|V_{AN}|^{2}/|Z_{\text{tot}}|^{2}. Se substituir os números chega-se ao mesmo resultado.)

Resposta

P_{3\varphi}\approx 5\,987{,}7\\ \mathrm{W}\approx 5{,}99\\ \mathrm{kW}

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