Questão 4 (2,0 pontos). Obtenha as equações paramétricas de 
  que contém 
  e é perpendicular à reta 
  que contém 
  e 
 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta quer que a gente encontre as equações paramétricas de uma reta 
  que passa pelo ponto 
  e que é perpendicular à reta 
  que passa pelos pontos 
  e 
 . Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, como vetores diretores e condições de perpendicularidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta 
 . A reta 
  passa pelos pontos 
  e 
 , então o vetor diretor 
  pode ser calculado subtraindo as coordenadas de 
  de 
 :
Então, 
 .
Passo 3
Agora, queremos que a reta 
  seja perpendicular à reta 
 . Para isso, o vetor diretor da reta 
 , que vamos chamar de 
 , precisa ser perpendicular a 
 . A condição de perpendicularidade entre dois vetores é que o produto escalar entre eles seja zero:
Vamos supor que 
 . Então:
Isso nos dá uma relação entre 
  e 
 .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o vetor 
  que não apenas satisfaz 
 , mas também garante que a reta 
  passe pelo ponto 
  e seja perpendicular à reta 
 .
Para encontrar o vetor 
 , vamos determinar o ponto de interseção mais próximo da reta 
  com a reta 
 . Esse ponto será onde a reta 
  cruza 
  de forma perpendicular.
Passo 5
Vamos chamar o ponto de interseção de 
 . Assim, 
  está na reta 
  e a reta 
  vai de 
  até 
 . O vetor 
  será, então, o vetor diretor 
 .
Primeiro, parametrizamos a reta 
 . Sabemos que 
  está em 
  e o vetor diretor é 
 . Então, as equações paramétricas de 
  são:
Onde 
  é o parâmetro.
Passo 6
O ponto 
  na reta 
  pode ser escrito como 
 . O vetor 
  é então:
Esse vetor deve ser perpendicular ao vetor diretor 
 :
Então:
Passo 7
Agora que encontramos 
 , podemos encontrar as coordenadas de 
 :
O vetor 
  é então:
Passo 8
Agora, temos o ponto 
  e o vetor diretor 
 . As equações paramétricas da reta 
  são então:
Resposta
As equações paramétricas da reta 
  são: