Questão 3 2,0 pontos

Uma partícula é lançada verticalmente para cima a partir da superfície do planeta Terra, atingindo uma altura máxima (em relação ao ponto de lançamento) igual ao próprio raio da Terra, R_T. Desprezando os atritos e o movimento de rotação da Terra, e denotando a aceleração da gravidade na superfície da Terra por g , com que velocidade esta partícula foi lançada?
(a) 2 \sqrt{ }\left(\mathrm{gR} \_\mathrm{T}\right)
(b) \sqrt{ }\left(2 \mathrm{gR} \_\mathrm{T}\right)
(c) \sqrt{ }\left(\mathrm{gR} \_\mathrm{T}\right) / 2
(d) \sqrt{ }\left(\mathrm{gR} \_\mathrm{T}\right)
(e) \sqrt{ }\left(3 \mathrm{gR} \_\mathrm{T}\right)
(f) \sqrt{ }\left(4 \mathrm{gR} \_\mathrm{T}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Informações dadas:
    • A partícula é lançada verticalmente para cima a partir da superfície da Terra.
    • Ela alcança altura máxima igual ao próprio raio da Terra, isto é, a partir do ponto de lançamento sobe uma altura R_T.
    • Desprezam-se atritos e rotação da Terra.
    • Aceleração da gravidade na superfície da Terra é g (valor conhecido, mas mantido simbólico).
  • O que é pedido:
    • Determinar a velocidade inicial de lançamento v da partícula.

Passo 2

Por que usar conservação de energia e não a fórmula v=\sqrt{2gh} com h=R_T?
  • A fórmula v=\sqrt{2gh} assume aceleração da gravidade constante g em todo o trecho de subida. Isso é aceitável quando h é pequeno em relação a R_T. Aqui h=R_T, ou seja, a partícula sobe até o dobro da distância ao centro da Terra (de R_T para 2R_T), então a gravidade varia muito ao longo da subida.
  • Portanto é necessário tratar a gravidade como função da distância ao centro e usar energia gravitacional correta, isto é, a energia potencial gravitacional para um campo central é
U(r) = -\dfrac{G M m}{r},
onde:
  • G é a constante gravitacional universal,
  • M é a massa da Terra,
  • m é a massa da partícula,
  • r é a distância entre os centros (distância ao centro da Terra).
    Expliquei o que cada símbolo significa para você não ficar perdido.

Passo 3

Escrevendo a conservação da energia mecânica entre o ponto de lançamento (na superfície, r=R_T) e o ponto de altura máxima (distância ao centro r=2R_T):
  • Energia inicial: energia cinética inicial K_i=\dfrac{1}{2} m v^2 mais energia potencial inicial U_i=-\dfrac{G M m}{R_T}.
  • Energia final (no ponto máximo): velocidade nula, K_f=0, e energia potencial U_f=-\dfrac{G M m}{2R_T}.
Conservação de energia:
\frac{1}{2} m v^2 + \left(-\dfrac{G M m}{R_T}\right) \;=\; 0 + \left(-\dfrac{G M m}{2R_T}\right).

Passo 4

Isolando v passo a passo.
  1. Mover termos de potencial para o lado direito:
\frac{1}{2} m v^2 = -\dfrac{G M m}{2R_T} + \dfrac{G M m}{R_T}.
  1. Calcular a diferença no lado direito:
-\dfrac{G M m}{2R_T} + \dfrac{G M m}{R_T} = \dfrac{G M m}{2R_T}.
  1. Portanto
\frac{1}{2} m v^2 = \dfrac{G M m}{2R_T}.
  1. Cancelar m e multiplicar por 2:
v^2 = \dfrac{G M}{R_T}.

Passo 5

Expressar G M em termos de g e R_T. Na superfície da Terra a aceleração gravitacional satisfaz
g = \dfrac{G M}{R_T^2}\quad\Rightarrow\quad G M = g R_T^2.
Substituindo em v^2:
v^2 = \dfrac{g R_T^2}{R_T} = g R_T.
Tomando a raiz positiva (velocidade inicial para cima):
v = \sqrt{g R_T}.
Observação pedagógica rápida: comparar com a aproximação de g constante dava v_{\text{aprox}}=\sqrt{2 g R_T}, que é maior; a razão é que a gravidade diminui com a altura, então é necessário menos energia (e menor v) do que a previsão com g constante.

Resposta

\sqrt{gR_T}

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