Questão 3 2,0 pontos
Uma partícula é lançada verticalmente para cima a partir da superfície do planeta Terra, atingindo uma altura máxima (em relação ao ponto de lançamento) igual ao próprio raio da Terra, R_T. Desprezando os atritos e o movimento de rotação da Terra, e denotando a aceleração da gravidade na superfície da Terra por g , com que velocidade esta partícula foi lançada?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
- Informações dadas:
- A partícula é lançada verticalmente para cima a partir da superfície da Terra.
- Ela alcança altura máxima igual ao próprio raio da Terra, isto é, a partir do ponto de lançamento sobe uma altura
. - Desprezam-se atritos e rotação da Terra.
- Aceleração da gravidade na superfície da Terra é
(valor conhecido, mas mantido simbólico).
- O que é pedido:
- Determinar a velocidade inicial de lançamento
da partícula.
- Determinar a velocidade inicial de lançamento
Passo 2
Por que usar conservação de energia e não a fórmula
com
?
- A fórmula
assume aceleração da gravidade constante em todo o trecho de subida. Isso é aceitável quando é pequeno em relação a . Aqui , ou seja, a partícula sobe até o dobro da distância ao centro da Terra (de para ), então a gravidade varia muito ao longo da subida. - Portanto é necessário tratar a gravidade como função da distância ao centro e usar energia gravitacional correta, isto é, a energia potencial gravitacional para um campo central é
onde:
-
é a constante gravitacional universal, -
é a massa da Terra, -
é a massa da partícula, -
é a distância entre os centros (distância ao centro da Terra).
Expliquei o que cada símbolo significa para você não ficar perdido.
Passo 3
Escrevendo a conservação da energia mecânica entre o ponto de lançamento (na superfície,
) e o ponto de altura máxima (distância ao centro
):
- Energia inicial: energia cinética inicial
mais energia potencial inicial . - Energia final (no ponto máximo): velocidade nula,
, e energia potencial .
Conservação de energia:
Passo 4
Isolando
passo a passo.
- Mover termos de potencial para o lado direito:
- Calcular a diferença no lado direito:
- Portanto
- Cancelar
e multiplicar por 2:
Passo 5
Expressar
em termos de
e
. Na superfície da Terra a aceleração gravitacional satisfaz
Substituindo em
:
Tomando a raiz positiva (velocidade inicial para cima):
Observação pedagógica rápida: comparar com a aproximação de
constante dava
, que é maior; a razão é que a gravidade diminui com a altura, então é necessário menos energia (e menor
) do que a previsão com
constante.