Questão 2 (2,0 pontos): Responda:
Duas bombas hidráulicas de 2,5 \mathrm{~kW} têm fator de potência 0,70 indutivo. Outras três bombas de 2 kVA e fator de potência 0,85 indutivo foram colocadas em funcionamento simultâneo com as primeiras. Quais os valores das potências ativa, reativa e aparente da instalação com essas máquinas?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido (peguei estes números do enunciado).
  • Há duas bombas idênticas, cada uma com potência ativa 2,5\\ \text{kW} e fator de potência 0,70 indutivo.
  • Há três bombas idênticas, cada uma com potência aparente 2,0\\ \text{kVA} e fator de potência 0,85 indutivo.
  • Todas foram ligadas ao mesmo tempo; queremos as potências totais da instalação: potência ativa total P_{\text{tot}}, potência reativa total Q_{\text{tot}} e potência aparente total S_{\text{tot}}.

Passo 2

Explicando os conceitos e as fórmulas que vou usar (aula rapidinha, tipo “cola” para a prova).
  • Potência ativa ( P) é a potência real consumida, em \text{kW}.
  • Potência reativa ( Q) mede a energia que oscila entre gerador e cargas reativas, em \text{kVAr}. Para cargas indutivas, Q>0 (positivo).
  • Potência aparente ( S) é a combinação das duas, em \text{kVA}.
    As relações fundamentais entre elas são:
S^2 = P^2 + Q^2,
P = S\cos\varphi,\qquad Q = S\sin\varphi,
onde \cos\varphi é o fator de potência (pf). A partir do fator de potência podemos obter a componente reativa diretamente por
Q = P\tan\varphi = P\frac{\sqrt{1-\cos^2\varphi}}{\cos\varphi}.
Vou aplicar essas fórmulas máquina a máquina e depois somar (potências ativas e reativas se somam linearmente quando as cargas estão em paralelo/sistema comum).

Passo 3

Trabalhando com as duas bombas de 2,5\\ \text{kW}, \text{pf}=0,70 (indutivo).
  • Potência ativa de cada bomba: \;P_1 = 2,5\\ \text{kW} (dado).
  • Potência aparente de cada bomba:
S_1 = \frac{P_1}{\cos\varphi} = \frac{2,5}{0,70} \approx 3,571428\\ \text{kVA}.
  • Potência reativa de cada bomba (uso Q = P\tan\varphi com \tan\varphi = \dfrac{\sqrt{1-\cos^2\varphi}}{\cos\varphi}):
\tan\varphi = \frac{\sqrt{1-0,70^2}}{0,70} = \frac{\sqrt{0,51}}{0,70} \approx 1,020253,
Q_1 = P_1\tan\varphi = 2,5\cdot 1,020253 \approx 2,550633\\ \text{kVAr}.
  • Como há duas bombas iguais, os totais desse grupo são:
P_{1,\text{total}} = 2\cdot 2,5 = 5,0\\ \text{kW},
Q_{1,\text{total}} = 2\cdot 2,550633 \approx 5,101266\\ \text{kVAr},
S_{1,\text{total}} = 2\cdot 3,571428 \approx 7,142857\\ \text{kVA}.

Passo 4

Trabalhando com as três bombas de 2,0\\ \text{kVA}, \text{pf}=0,85 (indutivo).
  • Potência aparente de cada bomba: \;S_2 = 2,0\\ \text{kVA} (dado).
  • Potência ativa de cada bomba:
P_2 = S_2\cos\varphi = 2,0\cdot 0,85 = 1,7\\ \text{kW}.
  • Potência reativa de cada bomba (uso Q = \sqrt{S^2-P^2} ou Q = S\sin\varphi):
Q_2 = \sqrt{S_2^2 - P_2^2} = \sqrt{2,0^2 - 1,7^2} = \sqrt{4,0 - 2,89} = \sqrt{1,11} \approx 1,053565\\ \text{kVAr}.
  • Como há três bombas iguais, os totais desse grupo são:
P_{2,\text{total}} = 3\cdot 1,7 = 5,1\\ \text{kW},
Q_{2,\text{total}} = 3\cdot 1,053565 \approx 3,160695\\ \text{kVAr},
S_{2,\text{total}} = 3\cdot 2,0 = 6,0\\ \text{kVA}.

Passo 5

Agora somo os grupos para obter os totais da instalação (ativa e reativa somam diretamente).
  • Potência ativa total:
P_{\text{tot}} = P_{1,\text{total}} + P_{2,\text{total}} = 5,0 + 5,1 = 10,1\\ \text{kW}.
  • Potência reativa total (indutiva, positiva):
Q_{\text{tot}} = Q_{1,\text{total}} + Q_{2,\text{total}} \approx 5,101266 + 3,160695 \approx 8,261961\\ \text{kVAr}.
(aproxime para conveniência da prova: 8,262\\ \text{kVAr}.)
  • Potência aparente total obtida por
S_{\text{tot}} = \sqrt{P_{\text{tot}}^2 + Q_{\text{tot}}^2} = \sqrt{10,1^2 + 8,261961^2} \approx \sqrt{102,01 + 68,2486} \approx \sqrt{170,2586} \approx 13,045\\ \text{kVA}.

Passo 6

Pequeno comentário prático (útil na prova): o fator de potência equivalente da instalação seria
\text{pf}_{\text{eq}} = \frac{P_{\text{tot}}}{S_{\text{tot}}} \approx \frac{10,1}{13,045} \approx 0,774,
ou seja, em torno de 0,77 indutivo. Isso ajuda a saber se precisa de correção de fator de potência.

Resposta

P_{\text{tot}} = 10,1\\ \text{kW}
Q_{\text{tot}} \approx 8,262\\ \text{kVAr}
S_{\text{tot}} \approx 13,045\\ \text{kVA}

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