Questão 1 (5 pontos): Satélites de comunicação são colocados em uma órbita geossíncrona, isto é, em uma órbita circular tal que eles realizem uma volta completa em torno de Marte em um dia sideral
horas) e, então aparentam estar estacionários em relação ao solo. Determine:
b) a velocidade com que eles descreverăo suas órbitas
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: o período orbital (um dia sideral marciano) é
horas. - Pedido: a velocidade com que os satélites descrevem suas órbitas (assume-se órbita circular e movimento geossíncrono).
Informações que vou usar (constantes, convertidas para unidades SI):
- Constante gravitacional:
. - Massa de Marte:
(valor padrão aceito). - Vou converter o período para segundos:
em segundos vale .
Obs.: peguei os valores de
e
como constantes físicas conhecidas.
Passo 2
Escolha do método (e por que): para órbitas circulares é mais direto obter primeiro o raio orbital
usando a relação entre gravitação e movimento circular, e depois obter a velocidade via
(ou diretamente
). Vou deduzir as fórmulas básicas de forma clara.
A igualdade entre força gravitacional e força centrípeta para uma massa de satélite
em órbita circular é:
Nesta equação:
-
é a constante gravitacional, -
é a massa do planeta (Marte), -
é o raio da órbita (distância do centro de Marte ao satélite), -
é a velocidade orbital, -
é a massa do satélite (cancela).
Simplificando, obtemos
Também relacionamos
e
porque numa volta completa a distância percorrida é
:
Substituindo essa expressão em
resulta na lei que permite achar
a partir de
:
Isolando
:
Vou calcular
com os valores que listei e então calcular
por
(mesmo resultado que
).
Passo 3
Calcular
em segundos e
:
- Conversão do período:
- Produto
:
Passo 4
Calcular o raio orbital
:
Primeiro calculo
:
Então calculo o numerador
:
Divido por
(onde
):
Agora a raiz cúbica:
Ou seja, o raio orbital é aproximadamente
(aprox.
do centro de Marte).
Passo 5
Calcular a velocidade orbital
:
Usando
:
Verificação rápida com
:
mesmo resultado (bom sinal!).
Passo 6
Interpretação final e dica prática para prova:
- Resultado numérico:
, que é aproximadamente . - Dica: em prova, memorize a sequência: converter
para segundos, usar para achar e então . Se tiver pouco tempo, calcular após achar é frequentemente mais rápido numericamente.
Força! Você já tem a receita para repetir esse cálculo para qualquer planeta — é sempre a mesma ideia: gravidade fornece a força centrípeta.