Questão 1 (5 pontos): Satélites de comunicação são colocados em uma órbita geossíncrona, isto é, em uma órbita circular tal que eles realizem uma volta completa em torno de Marte em um dia sideral (24,618 horas) e, então aparentam estar estacionários em relação ao solo. Determine:
b) a velocidade com que eles descreverăo suas órbitas

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: o período orbital (um dia sideral marciano) é T=24{,}618 horas.
  • Pedido: a velocidade com que os satélites descrevem suas órbitas (assume-se órbita circular e movimento geossíncrono).
Informações que vou usar (constantes, convertidas para unidades SI):
  • Constante gravitacional: G=6{,}67430\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-1}}.
  • Massa de Marte: M=6{,}4171\times10^{23}\\ \mathrm{kg} (valor padrão aceito).
  • Vou converter o período para segundos: T em segundos vale T=24{,}618\times3600\\ \mathrm{s}=88624{,}8\\ \mathrm{s}.
Obs.: peguei os valores de G e M como constantes físicas conhecidas.

Passo 2

Escolha do método (e por que): para órbitas circulares é mais direto obter primeiro o raio orbital r usando a relação entre gravitação e movimento circular, e depois obter a velocidade via v=\dfrac{2\pi r}{T} (ou diretamente v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}). Vou deduzir as fórmulas básicas de forma clara.
A igualdade entre força gravitacional e força centrípeta para uma massa de satélite m em órbita circular é:
\frac{G M m}{r^{2}}=\frac{m v^{2}}{r}.
Nesta equação:
  • G é a constante gravitacional,
  • M é a massa do planeta (Marte),
  • r é o raio da órbita (distância do centro de Marte ao satélite),
  • v é a velocidade orbital,
  • m é a massa do satélite (cancela).
Simplificando, obtemos
v^{2}=\frac{G M}{r}, \qquad\text{ou}\qquad v=\sqrt{\frac{G M}{r}}.
Também relacionamos v e T porque numa volta completa a distância percorrida é 2\pi r:
v=\frac{2\pi r}{T}.
Substituindo essa expressão em v^{2}=\dfrac{GM}{r} resulta na lei que permite achar r a partir de T:
\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^{2}=\frac{G M}{r} \quad\Rightarrow\quad T^{2}=\frac{4\pi^{2} r^{3}}{G M}.
Isolando r:
r=\left(\frac{G M T^{2}}{4\pi^{2}}\right)^{1/3}.
Vou calcular r com os valores que listei e então calcular v por v=\dfrac{2\pi r}{T} (mesmo resultado que \sqrt{GM/r}).

Passo 3

Calcular T em segundos e G M:
  • Conversão do período:
T=24{,}618\\ \text{h}\times3600\\ \frac{\text{s}}{\text{h}}=88624{,}8\\ \mathrm{s}.
  • Produto G M:
G M = (6{,}67430\times10^{-11})\times(6{,}4171\times10^{23}) \approx 4{,}2829655\times10^{13}\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-2}}.

Passo 4

Calcular o raio orbital r:
Primeiro calculo T^{2}:
T^{2}=(88624{,}8)^{2}=7{,}854{,}355{,}175{,}04\\ \mathrm{s^{2}}\approx7{,}854355175\times10^{9}\\ \mathrm{s^{2}}.
Então calculo o numerador G M T^{2}:
G M T^{2}\approx(4{,}2829655\times10^{13})\times(7{,}854355175\times10^{9}) \approx3{,}36399315\times10^{23}\\ \mathrm{m^{3}}.
Divido por 4\pi^{2} (onde 4\pi^{2}\approx39{,}4784176):
\frac{G M T^{2}}{4\pi^{2}}\approx\frac{3{,}36399315\times10^{23}}{39{,}4784176} \approx8{,}524\times10^{21}\\ \mathrm{m^{3}}.
Agora a raiz cúbica:
r=\left(8{,}524\times10^{21}\right)^{1/3}\approx2{,}042\times10^{7}\\ \mathrm{m}.
Ou seja, o raio orbital é aproximadamente r\approx2{,}042\times10^{7}\\ \mathrm{m} (aprox. 20{,}420\\ \mathrm{km} do centro de Marte).

Passo 5

Calcular a velocidade orbital v:
Usando v=\dfrac{2\pi r}{T}:
v=\frac{2\pi(2{,}042\times10^{7})}{88624{,}8} \approx1448\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Verificação rápida com v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}:
v=\sqrt{\frac{4{,}2829655\times10^{13}}{2{,}042\times10^{7}}} =\sqrt{2{,}097\times10^{6}}\approx1448\\ \mathrm{m\,s^{-1}},
mesmo resultado (bom sinal!).

Passo 6

Interpretação final e dica prática para prova:
  • Resultado numérico: v\approx1448\\ \mathrm{m\,s^{-1}}, que é aproximadamente 1{,}45\\ \mathrm{km\,s^{-1}}.
  • Dica: em prova, memorize a sequência: converter T para segundos, usar T^{2}=4\pi^{2}r^{3}/(GM) para achar r e então v=2\pi r/T. Se tiver pouco tempo, calcular v=\sqrt{GM/r} após achar r é frequentemente mais rápido numericamente.
Força! Você já tem a receita para repetir esse cálculo para qualquer planeta — é sempre a mesma ideia: gravidade fornece a força centrípeta.

Resposta

v\approx1448\\ \mathrm{m\,s^{-1}} (aprox. 1{,}45\\ \mathrm{km\,s^{-1}})

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