O eixo sólido está sujeito a um torque, momento fletor e força de cisalhamento. Determine as tensões principais nos pontos A e B e a tensão de cisalhamento máxima absoluta.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá (peguei estes números da figura) e o que é pedido.
Dados extraídos da figura:
Força de cisalhamento vertical: V=800\\ \text{N}.
Torques mostrados na figura: 300\\ \text{N}\cdot\text{m} e 45\\ \text{N}\cdot\text{m}. As setas indicam sentidos opostos, portanto tomo o torque resultante no trecho analisado como
T = 300-45 = 255\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Distância da seção (onde estão os pontos A e B) até a aplicação da força: 450\\ \text{mm}.
Diâmetro do eixo: d=25\\ \text{mm} (logo r=\dfrac{d}{2}=12{,}5\\ \text{mm}).
Os pontos a estudar estão na superfície da secção circular: A no topo (coord. vertical y=r) e B na linha mediana horizontal (y=0) da circunferência.
O enunciado pede:
Determinar as tensões principais nos pontos A e B.
Determinar a tensão de cisalhamento máxima absoluta (ou seja, o maior valor de tensão de cisalhamento encontrado nas seções analisadas).
Observações que vou usar (não é resolução ainda):
O esforço normal longitudinal é dado pelo momento fletor: \sigma_x = -\dfrac{M\,y}{I} (sinal convencional: tensão positiva = tração).
O esforço cortante longitudinal devido à força transversal tem distribuição e, para círculo, o valor máximo longitudinal de cisalhamento é \tau_{V,\max}=\dfrac{4V}{3A}; também usarei a expressão geral \tau = \dfrac{VQ}{Ib} quando necessário.
A torção produz cisalhamento circunferencial dado por \tau_{t}=\dfrac{T\,r}{J}.
Para determinar as tensões principais em um ponto com tensões \sigma_x e com componentes de cisalhamento \tau_{xy},\tau_{xz} (dois cisalhamentos ortogonais), a resolução matricial leva às três tensões principais (autovalores) que obtêm-se resolvendo o polinômio característico; eu apresentarei a fórmula final que usarei.
(Nos cálculos numéricos abaixo usei estes valores arredondados conforme mostrado.)
Passo 4
Tensão normal por flexão (\sigma_x) nos pontos da periferia.
Fórmula:
\sigma_x = -\frac{M\,y}{I},
onde y é a distância vertical do eixo neutro (positivo para cima). Vou adotar convenção: \sigma>0 = tração; se o resultado for positivo, o ponto está tracionado.
(ou seja, aqui o valor algébrico é -234{,}68\\ \text{MPa}; usando a convenção pedida eu posso tomar sinal: isso indica compressão no topo; se preferir números em módulo, é 234{,}68\\ \text{MPa}. Vou manter o sinal algébrico.)
Em B (ponto na linha mediana horizont.), y=0, logo
\sigma_B = 0.
Observação rápida sobre sinal: o resultado negativo em A significa que, com a carga V e a geometria do problema, o topo fica comprimido. O importante para as tensões principais é usar o valor algébrico correto.
Passo 5
Cisalhamento por torção na superfície (componente circunferencial-axial).
Fórmula (tensão de cisalhamento por torção na periferia):
Aqui foi usada a derivação do polinômio característica; a fórmula mostra que a combinação quadrática das componentes de cisalhamento entra como soma de quadrados.
Agora aplico em cada ponto.
Em A: \sigma_x(A)=-234{,}68\\ \text{MPa}, \tau_{xy}(A)=0, \tau_{xz}(A)=83{,}14\\ \text{MPa}.
Primeiro calcule
\left(\frac{\sigma_x}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2+\tau_{xz}^2 =\left(\frac{-234{,}68}{2}\right)^2 + 0 + 83{,}14^{2}.Numéricamente:\frac{\sigma_x}{2} \approx -117{,}34\\ \text{MPa}, \qquad \left(\frac{\sigma_x}{2}\right)^2\approx 13769{,}1, \qquad \tau_{xz}^{2}\approx 6911{,}7.Soma interior da raiz \approx 20680{,}8. A raiz é \sqrt{20680{,}8}\approx 143{,}847\\ \text{MPa}.
(Observação sobre ordenação: usualmente chamamos \sigma_1 a maior tensão principal, \sigma_3 a menor. Aqui os valores numéricos ordenados seriam \sigma_1\approx 26{,}51\\ \text{MPa}, \sigma_2=0\\ \text{MPa} e \sigma_3\approx -261{,}19\\ \text{MPa}. Porém o conjunto de três autovalores é o que importa; para clareza irei apresentar os três tensões principais ordenadas.)
(Atenção: nos valores de A as posições relativas de sinal dependem da convenção; apresentei as três tensões principais ordenadas do maior para o menor.)]
Passo 9
Determinar a tensão de cisalhamento máxima absoluta (maior valor de tensão de cisalhamento obtido a partir das tensões principais).
A tensão de cisalhamento máxima em três dimensões num ponto é
Comparando: \tau_{\max}(A)\approx 143{,}85\\ \text{MPa} > \tau_{\max}(B)\approx 83{,}18\\ \text{MPa}. Logo a tensão de cisalhamento máxima absoluta encontrada entre os pontos avaliados ocorre em A e vale aproximadamente 143{,}85\\ \text{MPa}.