EXERCÍCIO 5
O eixo sólido está sujeito a um torque, momento fletor e força de cisalhamento. Determine as tensões principais nos pontos A e B e a tensão de cisalhamento máxima absoluta.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá (peguei estes números da figura) e o que é pedido.
Dados extraídos da figura:
  • Força de cisalhamento vertical: V=800\\ \text{N}.
  • Torques mostrados na figura: 300\\ \text{N}\cdot\text{m} e 45\\ \text{N}\cdot\text{m}. As setas indicam sentidos opostos, portanto tomo o torque resultante no trecho analisado como
T = 300-45 = 255\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • Distância da seção (onde estão os pontos A e B) até a aplicação da força: 450\\ \text{mm}.
  • Diâmetro do eixo: d=25\\ \text{mm} (logo r=\dfrac{d}{2}=12{,}5\\ \text{mm}).
  • Os pontos a estudar estão na superfície da secção circular: A no topo (coord. vertical y=r) e B na linha mediana horizontal ( y=0) da circunferência.
O enunciado pede:
  • Determinar as tensões principais nos pontos A e B.
  • Determinar a tensão de cisalhamento máxima absoluta (ou seja, o maior valor de tensão de cisalhamento encontrado nas seções analisadas).
Observações que vou usar (não é resolução ainda):
  • O esforço normal longitudinal é dado pelo momento fletor: \sigma_x = -\dfrac{M\,y}{I} (sinal convencional: tensão positiva = tração).
  • O esforço cortante longitudinal devido à força transversal tem distribuição e, para círculo, o valor máximo longitudinal de cisalhamento é \tau_{V,\max}=\dfrac{4V}{3A}; também usarei a expressão geral \tau = \dfrac{VQ}{Ib} quando necessário.
  • A torção produz cisalhamento circunferencial dado por \tau_{t}=\dfrac{T\,r}{J}.
  • Para determinar as tensões principais em um ponto com tensões \sigma_x e com componentes de cisalhamento \tau_{xy},\tau_{xz} (dois cisalhamentos ortogonais), a resolução matricial leva às três tensões principais (autovalores) que obtêm-se resolvendo o polinômio característico; eu apresentarei a fórmula final que usarei.

Passo 2

Calcular esforços internos na seção (usei V=800\\ \text{N}, M=V\cdot 450\\ \text{mm}).
  • Força cortante interna à seção:
V=800\\ \text{N}.
  • Momento fletor na seção provocado por V (braço 450\\ \text{mm}):
M = V\cdot 450 = 800\cdot 450 = 360000\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
  • Torque resultante (peguei os valores dos dois torques na imagem e subtraí conforme sentidos mostrados):
T = 255\\ \text{N}\cdot\text{m} = 255000\\ \text{N}\cdot\text{mm}.

Passo 3

Propriedades da secção circular sólida (usei d=25\\ \text{mm}, r=12{,}5\\ \text{mm}).
  • Área:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi(25)^{2}}{4}=\pi\cdot 156{,}25\approx 490{,}87385\\ \text{mm}^{2}.
  • Momento de inércia (em relação ao eixo neutro horizontal/vertical):
I=\frac{\pi d^{4}}{64}=\frac{\pi(25)^{4}}{64}\approx 19174{,}64\\ \text{mm}^{4}.
  • Momento polar de inércia:
J=\frac{\pi d^{4}}{32}=2I\approx 38349{,}28\\ \text{mm}^{4}.
(Nos cálculos numéricos abaixo usei estes valores arredondados conforme mostrado.)

Passo 4

Tensão normal por flexão ( \sigma_x) nos pontos da periferia.
Fórmula:
\sigma_x = -\frac{M\,y}{I},
onde y é a distância vertical do eixo neutro (positivo para cima). Vou adotar convenção: \sigma>0 = tração; se o resultado for positivo, o ponto está tracionado.
  • Em A (topo): y=r=12{,}5\\ \text{mm}. Então
\sigma_A = -\frac{M\,r}{I} = -\frac{360000\cdot 12{,}5}{19174{,}64}\\ \text{N/mm}^2 \approx -234{,}68\\ \text{MPa}.
(ou seja, aqui o valor algébrico é -234{,}68\\ \text{MPa}; usando a convenção pedida eu posso tomar sinal: isso indica compressão no topo; se preferir números em módulo, é 234{,}68\\ \text{MPa}. Vou manter o sinal algébrico.)
  • Em B (ponto na linha mediana horizont.), y=0, logo
\sigma_B = 0.
Observação rápida sobre sinal: o resultado negativo em A significa que, com a carga V e a geometria do problema, o topo fica comprimido. O importante para as tensões principais é usar o valor algébrico correto.

Passo 5

Cisalhamento por torção na superfície (componente circunferencial-axial).
Fórmula (tensão de cisalhamento por torção na periferia):
\tau_{t}=\frac{T\,r}{J}.
Substituindo:
\tau_{t}=\frac{255000\cdot 12{,}5}{38349{,}28}\\ \text{N/mm}^2 \approx 83{,}14\\ \text{MPa}.
Este cisalhamento age tangencialmente (direção circunferencial) e tem componente sobre planos que envolvem a direção axial.

Passo 6

Cisalhamento devido à força transversal V (cisalhamento longitudinal distribuído).
Para secção circular, o valor máximo longitudinal de cisalhamento (no centro da secção, e também o valor que aparece na superfície em y=0) é
\tau_{V,\max}=\frac{4V}{3A}.
Substituindo:
\tau_{V,\max}=\frac{4\cdot 800}{3\cdot 490{,}87385}\\ \text{N/mm}^2 \approx 2{,}173\\ \text{MPa}.
  • Em A (topo, y=r) o primeiro momento de área Q até a borda é zero, portanto o cisalhamento longitudinal por V é \tau_{V}(A)=0.
  • Em B (linha mediana, y=0) a componente longitudinal de cisalhamento é praticamente a máxima: \tau_{V}(B)\approx 2{,}173\\ \text{MPa}.

Passo 7

Montagem dos componentes de tensão em cada ponto (uso coordenadas: x = eixo axial; y = vertical; z = tangencial/circunferencial).
  • Em A (topo):
    • Tensão normal axial: \sigma_x(A)=\sigma_A \approx -234{,}68\\ \text{MPa}.
    • Cisalhamento axial-vertical: \tau_{xy}(A)=0 (cisalhamento por V nulo no extremo).
    • Cisalhamento axial-tangencial (de torção): \tau_{xz}(A)=\tau_{t}\approx 83{,}14\\ \text{MPa}.
  • Em B (meio lateral):
    • Tensão normal axial: \sigma_x(B)=0.
    • Cisalhamento axial-vertical: \tau_{xy}(B)=\tau_{V,\max}\approx 2{,}173\\ \text{MPa}.
    • Cisalhamento axial-tangencial: \tau_{xz}(B)=\tau_{t}\approx 83{,}14\\ \text{MPa}.

Passo 8

Cálculo das tensões principais em cada ponto.
Para um tensor de tensões da forma (componentes relevantes)
\begin{pmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz}\\[4pt] \tau_{xy} & 0 & 0\\[4pt] \tau_{xz} & 0 & 0 \end{pmatrix},
os autovalores (tensões principais) são as raízes do polinômio característico e obtêm-se explicitamente:
\lambda_3 = 0, \qquad \lambda_{1,2}=\frac{\sigma_x}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{2}\right)^{2}+\tau_{xy}^{2}+\tau_{xz}^{2}}.
Aqui foi usada a derivação do polinômio característica; a fórmula mostra que a combinação quadrática das componentes de cisalhamento entra como soma de quadrados.
Agora aplico em cada ponto.
  • Em A: \sigma_x(A)=-234{,}68\\ \text{MPa}, \tau_{xy}(A)=0, \tau_{xz}(A)=83{,}14\\ \text{MPa}.
    • Primeiro calcule
    \left(\frac{\sigma_x}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2+\tau_{xz}^2 =\left(\frac{-234{,}68}{2}\right)^2 + 0 + 83{,}14^{2}.Numéricamente: \frac{\sigma_x}{2} \approx -117{,}34\\ \text{MPa}, \qquad \left(\frac{\sigma_x}{2}\right)^2\approx 13769{,}1, \qquad \tau_{xz}^{2}\approx 6911{,}7.Soma interior da raiz \approx 20680{,}8. A raiz é \sqrt{20680{,}8}\approx 143{,}847\\ \text{MPa}.
    • Então:
    \lambda_{1}=\frac{-234{,}68}{2} + 143{,}847 \approx -117{,}34 + 143{,}847 \approx 26{,}507\\ \text{MPa},
\lambda_{2}=\frac{-234{,}68}{2} - 143{,}847 \approx -117{,}34 - 143{,}847 \approx -261{,}187\\ \text{MPa},
e \lambda_{3}=0.
(Observação sobre ordenação: usualmente chamamos \sigma_1 a maior tensão principal, \sigma_3 a menor. Aqui os valores numéricos ordenados seriam \sigma_1\approx 26{,}51\\ \text{MPa}, \sigma_2=0\\ \text{MPa} e \sigma_3\approx -261{,}19\\ \text{MPa}. Porém o conjunto de três autovalores é o que importa; para clareza irei apresentar os três tensões principais ordenadas.)
Ordenando (maior → menor):
\sigma_{1}(A)\approx 26{,}51\\ \text{MPa},\quad \sigma_{2}(A)\approx 0{,}00\\ \text{MPa},\quad \sigma_{3}(A)\approx -261{,}19\\ \text{MPa}.
  • Em B: \sigma_x(B)=0, \tau_{xy}(B)=2{,}173\\ \text{MPa}, \tau_{xz}(B)=83{,}14\\ \text{MPa}.
    • Calcule \tau_{\text{eq}}=\sqrt{\tau_{xy}^{2}+\tau_{xz}^{2}}\approx \sqrt{2{,}173^{2}+83{,}14^{2}}\approx 83{,}18\\ \text{MPa}.
    • Como \sigma_x=0,
    \lambda_{1,2} = 0/2 \pm \sqrt{0 + \tau_{\text{eq}}^{2}} = \pm \tau_{\text{eq}},e \lambda_3=0. Logo: \sigma_{1}(B)\approx +83{,}18\\ \text{MPa},\quad \sigma_{2}(B)\approx -83{,}18\\ \text{MPa},\quad \sigma_{3}(B)\approx 0{,}00\\ \text{MPa}.
(Atenção: nos valores de A as posições relativas de sinal dependem da convenção; apresentei as três tensões principais ordenadas do maior para o menor.)]

Passo 9

Determinar a tensão de cisalhamento máxima absoluta (maior valor de tensão de cisalhamento obtido a partir das tensões principais).
A tensão de cisalhamento máxima em três dimensões num ponto é
\tau_{\max}=\frac{\sigma_{\max} - \sigma_{\min}}{2},
onde \sigma_{\max} e \sigma_{\min} são, respectivamente, a maior e a menor tensões principais no ponto.
  • Em A: com \sigma_{\max}(A)\approx 26{,}51\\ \text{MPa} e \sigma_{\min}(A)\approx -261{,}19\\ \text{MPa},
\tau_{\max}(A)=\frac{26{,}51 - (-261{,}19)}{2}\approx \frac{287{,}70}{2}\approx 143{,}85\\ \text{MPa}.
  • Em B: com \sigma_{\max}(B)\approx 83{,}18\\ \text{MPa} e \sigma_{\min}(B)\approx -83{,}18\\ \text{MPa},
\tau_{\max}(B)=\frac{83{,}18 - (-83{,}18)}{2}=83{,}18\\ \text{MPa}.
Comparando: \tau_{\max}(A)\approx 143{,}85\\ \text{MPa} > \tau_{\max}(B)\approx 83{,}18\\ \text{MPa}. Logo a tensão de cisalhamento máxima absoluta encontrada entre os pontos avaliados ocorre em A e vale aproximadamente 143{,}85\\ \text{MPa}.

Resposta

\sigma_{1}(A)\approx 26{,}51\ MPa,\ \sigma_{2}(A)\approx 0{,}00\ MPa,\ \sigma_{3}(A)\approx -261{,}19\ MPa
\sigma_{1}(B)\approx 83{,}18\ MPa,\ \sigma_{2}(B)\approx -83{,}18\ MPa,\ \sigma_{3}(B)\approx 0{,}00\ MPa
\tau_{\max}\ (absoluta)\approx 143{,}85\ MPa

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