Questão 2 (2,5 Pontos) Tempo estimado: 20 minutos
Faça uma comparação detalhada, qualitativa e quantitativa, das propriedades de fios de cobre e alumínio para serem usados na distribuição de sinais de áudio telefônico operando com freqüência máxima de 4.000 Hz . As perdas por efeito joule em ambos os fios devem ser iguais e considere o efeito pelicular de forma que toda a superfície da seção transversal seja utilizada para conduzir corrente. ATENÇÃO: Os fios tem seção transversal circular
Table 1: Tabela I. Dados do alumínio e cobre\captionsetup{labelformat=empty}
Preço (R$/kg)
Cobre
8,95
17
15,33
1,0
Alumínio
2,70
29
3,89
1,0
Table 1: Tabela I. Dados do alumínio e cobre
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Preço (R$/kg) |
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| Cobre | 8,95 | 17 | 15,33 | 1,0 |
| Alumínio | 2,70 | 29 | 3,89 | 1,0 |
Passo 1
O enunciado pede uma comparação qualitativa e quantitativa entre fios de cobre e de alumínio para distribuição de sinais de áudio telefônico com frequência máxima
, impondo que as perdas por efeito joule em ambos os fios sejam iguais. Dados fornecidos na tabela (vou usar exatamente esses valores):
Também consta
para ambos (logo
). A frequência é
.
O objetivo quantitativo é determinar, com a condição “perdas por Joule iguais”, as relações geométricas / massicas / de custo entre os fios e comentar qualitativamente vantagens e desvantagens.]
O objetivo quantitativo é determinar, com a condição “perdas por Joule iguais”, as relações geométricas / massicas / de custo entre os fios e comentar qualitativamente vantagens e desvantagens.]
Passo 2
Modelo físico e hipótese sobre efeito pelicular (skin effect). Vou adotar a hipótese solicitada: considerar o efeito pelicular de tal forma que a corrente percorre a camada superficial ao longo de toda a circunferência da seção circular (ou seja, a corrente está concentrada em uma camada de espessura
em torno do fio, onde
é a profundidade de penetração). Nesse modelo a área efetiva que conduz é aproximadamente
onde
é o raio do fio e
é a profundidade de penetração (skin depth). A fórmula para
em um condutor não magnético é
com
e
. Aqui:
Vou calcular
para cada metal (mostrando contas).
Passo 3
Cálculo das profundidades de penetração.
Para o cobre (
):
Calculando numericamente (apenas valores finais mostrados):
Para o alumínio (
):
Comentário prático (breve): esses
são da ordem de
. Isso significa que, para fios muito finos (raio menor que
), o efeito pelicular não concentraria a corrente apenas na superfície — a corrente ocuparia praticamente toda a seção. Ainda assim, como o enunciado pediu explicitamente que se considere o efeito pelicular de forma que toda a superfície da seção transversal seja utilizada, vou usar o modelo de camada superficial para as comparações. Mais adiante eu comento a implicação se o fio for mais fino que
.
Passo 4
Resistência por unidade de comprimento no modelo de camada superficial. A resistência por metro no regime em que a corrente corre numa camada de altura
ao longo da circunferência é aproximadamente
Se as perdas por Joule devem ser iguais para os dois fios e assumimos que a corrente que circula é a mesma nos dois condutores (mesmo sinal sendo transmitido), então basta igualar as resistências por unidade de comprimento:
Cancelando
e isolando a razão dos raios:
Como
(veja fórmula de
), note que
. Substituindo:
Ou seja, surpreendentemente, tanto no caso de corrente ocupando toda a área quanto no caso de camada superficial a relação entre raios que produz igual resistência dá o mesmo resultado: raio proporcional à raiz quadrada da resistividade elétrica.
Passo 5
Cálculo numérico da razão entre raios.
Usando
e
:
Interpretação: para ter a mesma perda joule (mesma resistência por comprimento ao mesmo sinal), o raio do fio de cobre pode ser cerca de
do raio do fio de alumínio.
Passo 6
Relação entre massas por comprimento (peso por metro) e comparação de custo por comprimento.
A massa por unidade de comprimento é
. A razão massa por comprimento cobre/alumínio é:
Substituindo
, obtemos
Numericamente:
Ou seja, para a mesma perda joule e fios com geometria ajustada conforme acima, o fio de cobre pesa cerca de
vezes o fio de alumínio (por metro).
Agora custo por comprimento:
. Portanto a razão de custo cobre/alumínio é
Conclusão numérica: para igual perda joule, o custo por metro do fio de cobre é cerca de
vezes o custo por metro do fio de alumínio (usando os preços da tabela).
Passo 7
Exemplo numérico ilustrativo (pega um caso prático para ver ordens de grandeza). Suponha um fio de alumínio com raio
Então
Massas por km:
Custos por km:
Resistência por comprimento (cheque rápido usando o modelo de camada superficial) para esses raios dá aproximadamente
(os dois têm o mesmo
por construção do ajuste).
Passo 8
Interpretação qualitativa e recomendações práticas (tom amigo e direto).
- Economia e massa: o alumínio é muito mais leve e muito mais barato por metro do que o cobre quando exigimos igual perda por Joule. Nos números acima, cobre custa ~7,7× mais por comprimento e pesa ~1,94× mais. Isso torna o alumínio atraente para instalação em grandes comprimentos (troca de material), onde peso e custo são críticos.
- Condutividade e confiabilidade: o cobre tem resistividade menor e melhores propriedades mecânicas superficiais (maleabilidade, soldabilidade, melhor contato elétrico). O alumínio oxida facilmente (óxido isolante) exigindo conectores apropriados e cuidados na terminação; também tem coeficiente de dilatação térmica maior e menor resistência mecânica à tração por mesma seção.
- Efeito pelicular: para
as profundidades de penetração calculadas são da ordem de . Em condutores finos comuns de telefonia (diâmetros abaixo ou na ordem do mm) o skin effect é pequeno e corrente ocupa quase toda a seção — a conclusão sobre razões de raios, massas e custos que obtivemos é válida também no caso sem efeito pelicular (as relações dependem de e resultam na mesma razão). Portanto os resultados quantitativos são robustos para a faixa de fios telefônicos. - Escolha prática: se o critério for exclusivamente perdas e custo, alumínio é preferível. Se for confiabilidade da conexão, facilidade de terminação, resistência mecânica e baixa resistência de contato, cobre é superior. Em telecomunicações de longa distância onde peso e custo importam, condutores de alumínio (ou ligas) são comumente usados com conectores apropriados; em circuitos internos e terminais, cobre é largamente usado.
Resposta
Exemplo numérico para
:
;
,
;
,
.