Questão 2 (2,5 Pontos) Tempo estimado: 20 minutos

Faça uma comparação detalhada, qualitativa e quantitativa, das propriedades de fios de cobre e alumínio para serem usados na distribuição de sinais de áudio telefônico operando com freqüência máxima de 4.000 Hz . As perdas por efeito joule em ambos os fios devem ser iguais e considere o efeito pelicular de forma que toda a superfície da seção transversal seja utilizada para conduzir corrente. ATENÇÃO: Os fios tem seção transversal circular
Table 1: Tabela I. Dados do alumínio e cobre
\captionsetup{labelformat=empty}
\boldsymbol{\rho} \boldsymbol{(} \mathbf{g} \boldsymbol{/} \mathbf{c m} \boldsymbol{3} \boldsymbol{)} \boldsymbol{\rho} \boldsymbol{( n 0 . m} \boldsymbol{)} Preço (R$/kg) \mathrm{H}_{\mathrm{r}}
Cobre 8,95 17 15,33 1,0
Alumínio 2,70 29 3,89 1,0

Passo 1

O enunciado pede uma comparação qualitativa e quantitativa entre fios de cobre e de alumínio para distribuição de sinais de áudio telefônico com frequência máxima 4\,000\\ \mathrm{Hz}, impondo que as perdas por efeito joule em ambos os fios sejam iguais. Dados fornecidos na tabela (vou usar exatamente esses valores):
\begin{array}{lcll} \text{Cobre:} & \rho_{\text{el}}=17\times10^{-9}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}, & \rho_{\text{mass}}=8{,}95\\ \mathrm{g/cm^3}=8950\\ \mathrm{kg/m^3}, & \text{preço}=15{,}33\\ \mathrm{R\$/kg},\\[3pt] \text{Alumínio:} & \rho_{\text{el}}=29\times10^{-9}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}, & \rho_{\text{mass}}=2{,}70\\ \mathrm{g/cm^3}=2700\\ \mathrm{kg/m^3}, & \text{preço}=3{,}89\\ \mathrm{R\$/kg}.\\\ \end{array}çíç
Também consta \mu_r=1{,}0 para ambos (logo \mu=\mu_0 \mu_r=\mu_0). A frequência é f=4{,}000\\ \mathrm{Hz}.
O objetivo quantitativo é determinar, com a condição “perdas por Joule iguais”, as relações geométricas / massicas / de custo entre os fios e comentar qualitativamente vantagens e desvantagens.]

Passo 2

Modelo físico e hipótese sobre efeito pelicular (skin effect). Vou adotar a hipótese solicitada: considerar o efeito pelicular de tal forma que a corrente percorre a camada superficial ao longo de toda a circunferência da seção circular (ou seja, a corrente está concentrada em uma camada de espessura \delta em torno do fio, onde \delta é a profundidade de penetração). Nesse modelo a área efetiva que conduz é aproximadamente
A_{\text{ef}} \approx 2\pi r\,\delta,
onde r é o raio do fio e \delta é a profundidade de penetração (skin depth). A fórmula para \delta em um condutor não magnético é
\delta=\sqrt{\dfrac{2\rho_{\text{el}}}{\omega\mu}},
com \omega=2\pi f e \mu=\mu_0\mu_r. Aqui:
\omega=2\pi\cdot 4{,}000\\ \mathrm{s^{-1}}\approx 2\pi\cdot 4{,}000, \qquad \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
Vou calcular \delta para cada metal (mostrando contas).

Passo 3

Cálculo das profundidades de penetração.
Para o cobre ( \rho_{\text{el,Cu}}=17\times10^{-9}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}):
\omega=2\pi\cdot 4{,}000, \qquad \delta_{\text{Cu}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot 17\times10^{-9}}{\omega\mu_0}}.
Calculando numericamente (apenas valores finais mostrados):
\delta_{\text{Cu}}\approx 1{,}038\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=1{,}038\\ \mathrm{mm}.
Para o alumínio ( \rho_{\text{el,Al}}=29\times10^{-9}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}):
\delta_{\text{Al}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot 29\times10^{-9}}{\omega\mu_0}} \approx 1{,}355\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=1{,}355\\ \mathrm{mm}.
Comentário prático (breve): esses \delta são da ordem de 1\\ \mathrm{mm}. Isso significa que, para fios muito finos (raio menor que \sim 1\\ \mathrm{mm}), o efeito pelicular não concentraria a corrente apenas na superfície — a corrente ocuparia praticamente toda a seção. Ainda assim, como o enunciado pediu explicitamente que se considere o efeito pelicular de forma que toda a superfície da seção transversal seja utilizada, vou usar o modelo de camada superficial para as comparações. Mais adiante eu comento a implicação se o fio for mais fino que \delta.

Passo 4

Resistência por unidade de comprimento no modelo de camada superficial. A resistência por metro no regime em que a corrente corre numa camada de altura \delta ao longo da circunferência é aproximadamente
R'=\dfrac{\rho_{\text{el}}}{A_{\text{ef}}}=\dfrac{\rho_{\text{el}}}{2\pi r\,\delta}.
Se as perdas por Joule devem ser iguais para os dois fios e assumimos que a corrente que circula é a mesma nos dois condutores (mesmo sinal sendo transmitido), então basta igualar as resistências por unidade de comprimento:
\dfrac{\rho_{\text{el,Cu}}}{2\pi r_{\text{Cu}}\,\delta_{\text{Cu}}} = \dfrac{\rho_{\text{el,Al}}}{2\pi r_{\text{Al}}\,\delta_{\text{Al}}}.
Cancelando 2\pi e isolando a razão dos raios:
\dfrac{r_{\text{Cu}}}{r_{\text{Al}}} = \dfrac{\rho_{\text{el,Cu}}\,\delta_{\text{Al}}}{\rho_{\text{el,Al}}\,\delta_{\text{Cu}}}.
Como \delta\propto\sqrt{\rho_{\text{el}}} (veja fórmula de \delta), note que \delta_{\text{Al}}/\delta_{\text{Cu}}=\sqrt{\rho_{\text{el,Al}}/\rho_{\text{el,Cu}}}. Substituindo:
\dfrac{r_{\text{Cu}}}{r_{\text{Al}}} = \dfrac{\rho_{\text{el,Cu}}}{\rho_{\text{el,Al}}}\sqrt{\dfrac{\rho_{\text{el,Al}}}{\rho_{\text{el,Cu}}}} = \sqrt{\dfrac{\rho_{\text{el,Cu}}}{\rho_{\text{el,Al}}}}.
Ou seja, surpreendentemente, tanto no caso de corrente ocupando toda a área quanto no caso de camada superficial a relação entre raios que produz igual resistência dá o mesmo resultado: raio proporcional à raiz quadrada da resistividade elétrica.

Passo 5

Cálculo numérico da razão entre raios.
Usando \rho_{\text{el,Cu}}=17\times10^{-9} e \rho_{\text{el,Al}}=29\times10^{-9}:
\dfrac{r_{\text{Cu}}}{r_{\text{Al}}} =\sqrt{\dfrac{17}{29}} \approx 0{,}7656.
Interpretação: para ter a mesma perda joule (mesma resistência por comprimento ao mesmo sinal), o raio do fio de cobre pode ser cerca de 76{,}6\% do raio do fio de alumínio.

Passo 6

Relação entre massas por comprimento (peso por metro) e comparação de custo por comprimento.
A massa por unidade de comprimento é m'=\pi r^2 \rho_{\text{mass}}. A razão massa por comprimento cobre/alumínio é:
\dfrac{m'_{\text{Cu}}}{m'_{\text{Al}}} =\dfrac{\pi r_{\text{Cu}}^2 \rho_{\text{mass,Cu}}}{\pi r_{\text{Al}}^2 \rho_{\text{mass,Al}}} =\left(\dfrac{r_{\text{Cu}}}{r_{\text{Al}}}\right)^2 \cdot \dfrac{\rho_{\text{mass,Cu}}}{\rho_{\text{mass,Al}}}.
Substituindo \left(\dfrac{r_{\text{Cu}}}{r_{\text{Al}}}\right)^2=\dfrac{\rho_{\text{el,Cu}}}{\rho_{\text{el,Al}}}, obtemos
\dfrac{m'_{\text{Cu}}}{m'_{\text{Al}}} = \dfrac{\rho_{\text{el,Cu}}}{\rho_{\text{el,Al}}}\cdot \dfrac{\rho_{\text{mass,Cu}}}{\rho_{\text{mass,Al}}}.
Numericamente:
\dfrac{m'_{\text{Cu}}}{m'_{\text{Al}}} = \dfrac{17}{29}\cdot\dfrac{8950}{2700} \approx 1{,}944.
Ou seja, para a mesma perda joule e fios com geometria ajustada conforme acima, o fio de cobre pesa cerca de 1{,}944 vezes o fio de alumínio (por metro).
Agora custo por comprimento: C' = m' \cdot \text{preço\_kg}ç. Portanto a razão de custo cobre/alumínio é
\dfrac{C'_{\text{Cu}}}{C'_{\text{Al}}} =\dfrac{m'_{\text{Cu}}}{m'_{\text{Al}}}\cdot \dfrac{\text{preço}_{\text{Cu}}}{\text{preço}_{\text{Al}}} \approx 1{,}944\cdot\dfrac{15{,}33}{3{,}89} \approx 7{,}66.çç
Conclusão numérica: para igual perda joule, o custo por metro do fio de cobre é cerca de 7{,}66 vezes o custo por metro do fio de alumínio (usando os preços da tabela).

Passo 7

Exemplo numérico ilustrativo (pega um caso prático para ver ordens de grandeza). Suponha um fio de alumínio com raio
r_{\text{Al}}=1{,}00\\ \mathrm{mm}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Então
r_{\text{Cu}}=0{,}7656\cdot r_{\text{Al}}\approx 0{,}7656\\ \mathrm{mm}.
Massas por km:
m'_{\text{Al}}=\pi r_{\text{Al}}^2\rho_{\text{mass,Al}} =\pi(1{,}0\times10^{-3})^2\cdot 2700 \approx 8{,}48\\ \mathrm{kg/km},
m'_{\text{Cu}}=\pi r_{\text{Cu}}^2\rho_{\text{mass,Cu}} \approx 16{,}47\\ \mathrm{kg/km}.
Custos por km:
C_{\text{Al}}\approx 8{,}48\cdot 3{,}89\approx 33{,}0\\ \mathrm{R\$/km}, \qquad C_{\text{Cu}}\approx 16{,}47\cdot 15{,}33\approx 252{,}6\\ \mathrm{R\$/km}.
Resistência por comprimento (cheque rápido usando o modelo de camada superficial) para esses raios dá aproximadamente R'\approx 3{,}41\\ \Omega/\mathrm{km} (os dois têm o mesmo R' por construção do ajuste).

Passo 8

Interpretação qualitativa e recomendações práticas (tom amigo e direto).
  • Economia e massa: o alumínio é muito mais leve e muito mais barato por metro do que o cobre quando exigimos igual perda por Joule. Nos números acima, cobre custa ~7,7× mais por comprimento e pesa ~1,94× mais. Isso torna o alumínio atraente para instalação em grandes comprimentos (troca de material), onde peso e custo são críticos.
  • Condutividade e confiabilidade: o cobre tem resistividade menor e melhores propriedades mecânicas superficiais (maleabilidade, soldabilidade, melhor contato elétrico). O alumínio oxida facilmente (óxido isolante) exigindo conectores apropriados e cuidados na terminação; também tem coeficiente de dilatação térmica maior e menor resistência mecânica à tração por mesma seção.
  • Efeito pelicular: para f_{\max}=4\\ \mathrm{kHz} as profundidades de penetração calculadas são da ordem de 1{,}0\!\text{–}\!1{,}4\\ \mathrm{mm}. Em condutores finos comuns de telefonia (diâmetros abaixo ou na ordem do mm) o skin effect é pequeno e corrente ocupa quase toda a seção — a conclusão sobre razões de raios, massas e custos que obtivemos é válida também no caso sem efeito pelicular (as relações dependem de \sqrt{\rho_{\text{el}}} e resultam na mesma razão). Portanto os resultados quantitativos são robustos para a faixa de fios telefônicos.
  • Escolha prática: se o critério for exclusivamente perdas e custo, alumínio é preferível. Se for confiabilidade da conexão, facilidade de terminação, resistência mecânica e baixa resistência de contato, cobre é superior. Em telecomunicações de longa distância onde peso e custo importam, condutores de alumínio (ou ligas) são comumente usados com conectores apropriados; em circuitos internos e terminais, cobre é largamente usado.

Resposta

\dfrac{r_{\text{Cu}}}{r_{\text{Al}}}=\sqrt{\dfrac{17}{29}}\approx 0{,}7656.
\dfrac{m'_{\text{Cu}}}{m'_{\text{Al}}}\approx 1{,}944 (o fio de cobre pesa cerca de 1{,}944 vezes o de alumínio para iguais perdas joule).
\dfrac{C'_{\text{Cu}}}{C'_{\text{Al}}}\approx 7{,}66 (o custo por comprimento do cabo de cobre é ≈ 7{,}66 vezes o do alumínio, usando os preços da tabela).
Exemplo numérico para r_{\text{Al}}=1{,}00\\ \mathrm{mm}: r_{\text{Cu}}\approx 0{,}7656\\ \mathrm{mm}; m_{\text{Al}}\approx 8{,}48\\ \mathrm{kg/km}, m_{\text{Cu}}\approx 16{,}47\\ \mathrm{kg/km}; C_{\text{Al}}\approx 33{,}0\\ \mathrm{R\$/km}, C_{\text{Cu}}\approx 252{,}6\\ \mathrm{R\$/km}.

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