Questão 3 (2,0 pontos): Um transformador de distribuição, 10 \mathrm{kVA}, 4.800 / 240 \mathrm{~V} teve seus testes de aceitação constando de um ensaio a vazio e um de curto-circuito, antes de ser colocado em serviço como transformador abaixador. A partir dos ensaios devem-se calcular sua regulação e seu rendimento. Os dados obtidos nos ensaios são?
  • A Vazio (feito pela BT): \mathrm{V}_{\mathrm{CA}}=240 \mathrm{~V} \quad \mathrm{I}_{\mathrm{CA}}=1,5 \mathrm{~A} \quad \mathrm{P}_{\mathrm{CA}}=60 \mathrm{~W}
  • Curto-circuito (feito pela AT): \mathrm{V}_{\mathrm{cc}}=180 \mathrm{~V} \quad I_{\mathrm{cc}}= Nominal \quad P_{\mathrm{cc}}=180 \mathrm{~W}
Considerando que não houve diferença significativa entre as fases, calcule:
a) Os parâmetros do circuito equivalente referido ao lado de alta tensão;
b) O rendimento do Trafo para 75 \% da carga e \mathrm{FP}=0,90;
c) A regulação de tensão para a mesma condição de carga do item anterior;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado).
Dados do transformador e dos ensaios:
  • Potência aparente nominal: \,S=10\\ \mathrm{kVA}.
  • Tensões nominais: \,V_{\mathrm{AT}}=4800\\ \mathrm{V} (lado de alta tensão) e \,V_{\mathrm{BT}}=240\\ \mathrm{V} (lado de baixa tensão).
  • Ensaio a vazio (feito na BT): \,V_{0}=240\\ \mathrm{V},\\ I_{0}=1{,}5\\ \mathrm{A},\\ P_{0}=60\\ \mathrm{W}.
  • Ensaio de curto-circuito (feito na AT): \,V_{\mathrm{cc}}=180\\ \mathrm{V},\\ I_{\mathrm{cc}}= corrente nominal,\ P_{\mathrm{cc}}=180\\ \mathrm{W}.
O enunciado pede:
a) Os parâmetros do circuito equivalente referidos ao lado de alta tensão (ou seja, resistência e reatância série equivalentes e, na rama de magnetização, a resistência de perdas e a reatância magnetizante referidas ao lado AT).
b) O rendimento (eficiência) para 75\% da carga e fator de potência \mathrm{FP}=0{,}90.
c) A regulação de tensão para a mesma condição de carga do item b).

Passo 2

Calcular corrente nominal em cada lado e a razão de transformação (esses valores vão aparecer em várias fórmulas).
Fórmula: \,I_{\text{nom}}=\dfrac{S}{V}.
  • Corrente nominal no lado de alta tensão:
I_{\mathrm{nom,AT}}=\dfrac{S}{V_{\mathrm{AT}}}=\dfrac{10\,000}{4800}=\dfrac{25}{12}=2{,}08333\\ \mathrm{A}.
  • Corrente nominal no lado de baixa tensão:
I_{\mathrm{nom,BT}}=\dfrac{S}{V_{\mathrm{BT}}}=\dfrac{10\,000}{240}=41{,}6667\\ \mathrm{A}.
  • Razão de transformação ( relação de tensões):
a=\dfrac{V_{\mathrm{AT}}}{V_{\mathrm{BT}}}=\dfrac{4800}{240}=20.
Observação: a=20 e a^{2}=400. Esses fatores serão usados ao referir impedâncias entre lados.

Passo 3

Determinar os parâmetros da rama de magnetização a partir do ensaio a vazio (feito na BT). Aqui estamos decompondo a corrente de vazio em componente de perdas (em fase com a tensão) e componente magnetizante (reativa).
No ensaio a vazio temos \,V_{0}=240\\ \mathrm{V}, \,I_{0}=1{,}5\\ \mathrm{A} e \,P_{0}=60\\ \mathrm{W}.
Componente de corrente em fase com a tensão (corrente de perdas):
I_{\mathrm{w}}=\dfrac{P_{0}}{V_{0}}=\dfrac{60}{240}=0{,}25\\ \mathrm{A}.
Componente magnetizante (reativa), obtida por Pitágoras (correntes são ortogonais):
I_{\mathrm{m}}=\sqrt{I_{0}^{2}-I_{\mathrm{w}}^{2}}=\sqrt{1{,}5^{2}-0{,}25^{2}} =\sqrt{2{,}25-0{,}0625}=\sqrt{2{,}1875}=1{,}479\\ \mathrm{A}\\ (\text{aprox.}).
Agora obtemos a resistência de perdas e a reatância magnetizante referidas ao lado de baixa tensão (BT):
  • Resistência de perdas (referida BT):
R_{c,\mathrm{BT}}=\dfrac{V_{0}}{I_{\mathrm{w}}}=\dfrac{240}{0{,}25}=960\\ \Omega.
  • Reatância magnetizante (referida BT):
X_{m,\mathrm{BT}}=\dfrac{V_{0}}{I_{\mathrm{m}}}=\dfrac{240}{1{,}479}=162{,}2\\ \Omega\\ (\text{aprox.}).
Esses valores estão no lado BT porque o ensaio a vazio foi feito na BT.

Passo 4

Referir a rama de magnetização ao lado de alta tensão (multiplica-se por a^{2}). Explicando: impedância referida do outro lado escala por a^{2} quando se passa de um lado ao outro.
  • Resistência de perdas referida ao lado AT:
R_{c,\mathrm{AT}}=a^{2}\,R_{c,\mathrm{BT}}=400\cdot960=384\,000\\ \Omega.
  • Reatância magnetizante referida ao lado AT:
X_{m,\mathrm{AT}}=a^{2}\,X_{m,\mathrm{BT}}=400\cdot162{,}2=64\,880\\ \Omega\\ (\text{aprox.}).
Portanto a rama de magnetização referida ao lado AT é composta por R_{c,\mathrm{AT}} e X_{m,\mathrm{AT}} calculadas acima.

Passo 5

Determinar os parâmetros série equivalentes (resistência e reatância de fuga) a partir do ensaio de curto-circuito (feito na AT). No ensaio de curto-circuito aplicou-se \,V_{\mathrm{cc}}=180\\ \mathrm{V} na AT para que circulasse a corrente nominal \,I_{\mathrm{nom,AT}}, e mediu-se \,P_{\mathrm{cc}}=180\\ \mathrm{W}.
A impedância equivalente referida ao lado AT tem magnitude
Z_{\mathrm{eq,AT}}=\dfrac{V_{\mathrm{cc}}}{I_{\mathrm{nom,AT}}} =\dfrac{180}{2{,}08333}=86{,}4\\ \Omega.
A resistência série equivalente (perdas ôhmicas equivalentes referidas AT) obtém-se por
R_{\mathrm{eq,AT}}=\dfrac{P_{\mathrm{cc}}}{I_{\mathrm{nom,AT}}^{2}} =\dfrac{180}{(2{,}08333)^{2}}.
Calculando exatamente:
I_{\mathrm{nom,AT}}=\dfrac{25}{12},\quad I_{\mathrm{nom,AT}}^{2}=\dfrac{625}{144},
R_{\mathrm{eq,AT}}=180\cdot\dfrac{144}{625}=\dfrac{25920}{625}=41{,}472\\ \Omega\\ (\text{aprox.}).
A reatância série equivalente obtém-se por diferença de quadrados (pois Z^{2}=R^{2}+X^{2}):
X_{\mathrm{eq,AT}}=\sqrt{Z_{\mathrm{eq,AT}}^{2}-R_{\mathrm{eq,AT}}^{2}} =\sqrt{86{,}4^{2}-41{,}472^{2}}=75{,}796\\ \Omega\\ (\text{aprox.}).
Explicação curta: R_{\mathrm{eq,AT}} representa as perdas ôhmicas equivalentes (cu) referidas ao AT; X_{\mathrm{eq,AT}} representa a reatância de fuga equivalente referida ao AT.

Passo 6

Resumo dos parâmetros do circuito equivalente referidos ao lado de alta tensão (resposta do item a). Valores arredondados de forma apropriada:
  • Resistência série equivalente (referida AT): \,R_{\mathrm{eq,AT}}=41{,}472\\ \Omega.
  • Reatância série equivalente (referida AT): \,X_{\mathrm{eq,AT}}=75{,}796\\ \Omega.
  • Resistência de perdas (rama magnetização, referida AT): \,R_{c,\mathrm{AT}}=384\,000\\ \Omega.
  • Reatância magnetizante (referida AT): \,X_{m,\mathrm{AT}}=64\,880\\ \Omega.
Esses quatro valores compõem o circuito equivalente referido ao lado de alta tensão.

Passo 7

Calcular o rendimento (eficiência) para 75\% da carga e \mathrm{FP}=0{,}90 (item b). Primeiro explico as fórmulas usadas.
  • Potência aparente de carga: \,S_{\text{carga}}=0{,}75\cdot S.
  • Potência ativa de saída: \,P_{\mathrm{out}}=S_{\text{carga}}\cdot\mathrm{FP}.
  • Perdas: soma de perdas no ferro (P0) mais perdas ôhmicas (Pcu). Para o Pcu usamos a resistência equivalente referida ao lado em que calculamos a corrente; como determinamos R_{\mathrm{eq,AT}} no lado AT, vamos calcular Pcu com a corrente no lado AT.
  • Corrente de carga no AT: \,I_{\mathrm{carga,AT}}=0{,}75\cdot I_{\mathrm{nom,AT}}=0{,}75\cdot2{,}08333=1{,}5625\\ \mathrm{A}.
  • Perdas ôhmicas (Pcu):
P_{\mathrm{cu}}=I_{\mathrm{carga,AT}}^{2}\cdot R_{\mathrm{eq,AT}} =(1{,}5625)^{2}\cdot41{,}472 =2{,}44140625\cdot41{,}472=101{,}219\\ \mathrm{W}\\ (\text{aprox.}).
  • Perdas totais:
P_{\mathrm{perdas}}=P_{0}+P_{\mathrm{cu}}=60+101{,}219=161{,}219\\ \mathrm{W}.
  • Potência útil de saída:
P_{\mathrm{out}}=0{,}75\cdot10\,000\cdot0{,}90=7\,500\cdot0{,}90=6\,750\\ \mathrm{W}.
  • Potência de entrada:
P_{\mathrm{in}}=P_{\mathrm{out}}+P_{\mathrm{perdas}}=6\,750+161{,}219=6\,911{,}219\\ \mathrm{W}.
  • Eficiência:
\eta=\dfrac{P_{\mathrm{out}}}{P_{\mathrm{in}}}=\dfrac{6\,750}{6\,911{,}219}=0{,}97667\approx97{,}67\%.
Comentário rápido: o principal termo que muda com a carga é Pcu (proporcional a I^{2}), enquanto P0 é praticamente constante.

Passo 8

Calcular a regulação de tensão para a mesma condição de carga (item c). Vou explicar a fórmula prática e depois aplicar numericamente.
Definição prática de regulação (para o lado de baixa tensão, já que o transformador é abaixador e normalmente se mede/regula no secundário): diferença percentual entre tensão sem carga e tensão com carga, com a tensão de referência sendo a tensão em carga.
Fórmula aproximada (fácil de aplicar em prova) para regulação percentual no lado da carga (BT):
\text{Regulação (\%)}\approx \dfrac{I_{\mathrm{carga,BT}}\left(R_{\mathrm{eq,BT}}\cos\varphi + X_{\mathrm{eq,BT}}\sin\varphi\right)}{V_{\mathrm{BT}}}\times100\%,çã
onde \varphi é o ângulo do fator de potência ( \cos\varphi=0{,}90 neste caso) e R_{\mathrm{eq,BT}},X_{\mathrm{eq,BT}} são as impedâncias série equivalentes referidas ao lado BT.
Passos numéricos:
  • Converter R_{\mathrm{eq,AT}} e X_{\mathrm{eq,AT}} para o lado BT dividindo por a^{2}:
R_{\mathrm{eq,BT}}=\dfrac{R_{\mathrm{eq,AT}}}{a^{2}}=\dfrac{41{,}472}{400}=0{,}10368\\ \Omega.
X_{\mathrm{eq,BT}}=\dfrac{X_{\mathrm{eq,AT}}}{a^{2}}=\dfrac{75{,}796}{400}=0{,}18949\\ \Omega.
  • Corrente de carga no BT:
I_{\mathrm{carga,BT}}=0{,}75\cdot I_{\mathrm{nom,BT}}=0{,}75\cdot41{,}6667=31{,}25\\ \mathrm{A}.
  • Ângulo da carga: \cos\varphi=0{,}90\Rightarrow \sin\varphi=\sqrt{1-0{,}9^{2}}=\sqrt{0{,}19}=0{,}43589 (aprox.).
  • Queda de tensão linear aproximada (valor efetivo):
\Delta V=I_{\mathrm{carga,BT}}\big(R_{\mathrm{eq,BT}}\cos\varphi+X_{\mathrm{eq,BT}}\sin\varphi\big).
Calculando os termos:
R_{\mathrm{eq,BT}}\cos\varphi=0{,}10368\cdot0{,}90=0{,}093312,
X_{\mathrm{eq,BT}}\sin\varphi=0{,}18949\cdot0{,}43589=0{,}082647,
\text{soma}=0{,}175959.
\Delta V=31{,}25\cdot0{,}175959=5{,}4987\\ \mathrm{V}.
  • Regulação percentual:
\text{Regulação (\%)}=\dfrac{\Delta V}{V_{\mathrm{BT}}}\times100\%=\dfrac{5{,}4987}{240}\times100\%=2{,}291\%\approx2{,}29\%.çã
Interpretação: para carga indutiva (fator de potência indutivo, que é o caso típico quando não se diz o contrário), a regulação é positiva — a tensão sem carga é maior do que a tensão em carga; aqui obtemos aproximadamente 2{,}29\%.

Resposta

(a) \;R_{\mathrm{eq,AT}}=41{,}472\\ \Omega,\; X_{\mathrm{eq,AT}}=75{,}796\\ \Omega,\; R_{c,\mathrm{AT}}=384\,000\\ \Omega,\; X_{m,\mathrm{AT}}=64\,880\\ \Omega
(b) \;\eta\approx97{,}67\%
(c) \;\text{Regulação}\approx2{,}29\%çã

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