QUESTÃO 3 ( 7 pontos). Um tubo de aço (
) é preenchido por um gás a uma pressão de
. Sabendo-se que sua espessura é de
e possui 16 cm de diâmetro, determine as tensões normais circunferencial e longitudinal que ocorrem no tubo. Determine a deformação radial total do tubo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: as tensões normais (circunferencial e longitudinal) no tubo e a deformação radial total do tubo. As informações fornecidas são:
Também usamos o raio do tubo:
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula prática para um tubo fino (casca cilíndrica fina) submetido à pressão interna. As expressões padrão (obtidas pelo equilíbrio de forças) são:
Aqui eu explico o porquê de cada fórmula, de forma simples:
- Para
: considere um corte longitudinal do cilindro e equilibre a força interna provocada pela pressão (que tende a “abrir” o cilindro) com as tensões nas paredes; isso leva a . - Para
: para a força que atua sobre a tampa circular do cilindro (área ) a resistência vem de duas paredes (circunferência multiplicada por espessura ), levando a .
Nas fórmulas:é a pressão interna, é o raio, é a espessura, e tem unidades de .
Passo 3
Agora aplicamos os valores para obter a tensão circunferencial. Substituindo
em
temos
Calculando:
Logo,
Passo 4
Agora a tensão longitudinal, usando
Substituindo os mesmos valores:
Calculando:
Portanto
Passo 5
Agora vamos transformar essas tensões em deformação radial. Primeiro precisamos da deformação circumferencial (tangencial)
. Para uma casca fina a situação é de “plane stress” (tensão radial através da espessura é desprezível comparada às outras), e a lei de Hooke generalizada dá:
Explicando a fórmula de forma didática:
-
é a deformação na direção circumferencial (fração de alongamento da circunferência). -
é o módulo de Young, que relaciona tensão e deformação linearmente. -
é Poisson; a presença do termo mostra que a tensão na direção axial provoca contração/expansão na direção circumferencial (acoplamento elástico). - Desprezamos a tensão radial através da espessura porque o tubo é fino (
), então o estado de tensões é bem aproximado por “plane stress”.
Passo 6
Substituindo os valores em
temos
Calcule o parêntese:
Então
Efetuando a divisão:
Passo 7
A deformação circumferencial
está relacionada com a variação do raio
através da variação da circunferência. Para pequenas deformações:
Logo
Substituindo
e
:
Em notação decimal:
Se preferir em milímetros: