QUESTÃO 3 ( 7 pontos). Um tubo de aço ( E=2,1.10^{6} \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{2}, v=0,3 ) é preenchido por um gás a uma pressão de 15 \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{2}. Sabendo-se que sua espessura é de 0,4 \mathrm{~cm} e possui 16 cm de diâmetro, determine as tensões normais circunferencial e longitudinal que ocorrem no tubo. Determine a deformação radial total do tubo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: as tensões normais (circunferencial e longitudinal) no tubo e a deformação radial total do tubo. As informações fornecidas são:
\begin{aligned} &p_{\text{int}}=15\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^2\quad(\text{pressão interna}),\\\ &t=0,4\\ \mathrm{cm}\quad(\text{espessura}),\\\ &D=16\\ \mathrm{cm}\quad(\text{diâmetro externo ou interno, o enunciado não distingue, usaremos }D=16\\ \mathrm{cm}),\\\ &E=2,1\cdot10^{6}\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^2\quad(\text{módulo de Young}),\\\ &\nu=0,3\quad(\text{coeficiente de Poisson}). \end{aligned}ãâãó
Também usamos o raio do tubo:
r=\frac{D}{2}=8\\ \mathrm{cm}.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula prática para um tubo fino (casca cilíndrica fina) submetido à pressão interna. As expressões padrão (obtidas pelo equilíbrio de forças) são:
\sigma_\theta=\frac{p\,r}{t}\quad\text{(tensão circunferencial, "hoop")},ã
\sigma_\ell=\frac{p\,r}{2t}\quad\text{(tensão longitudinal, no eixo)}.ã
Aqui eu explico o porquê de cada fórmula, de forma simples:
  • Para \sigma_\theta: considere um corte longitudinal do cilindro e equilibre a força interna provocada pela pressão (que tende a “abrir” o cilindro) com as tensões nas paredes; isso leva a \sigma_\theta=\dfrac{p r}{t}.
  • Para \sigma_\ell: para a força que atua sobre a tampa circular do cilindro (área \pi r^2) a resistência vem de duas paredes (circunferência \,2\pi r\, multiplicada por espessura t), levando a \sigma_\ell=\dfrac{p r}{2t}.
    Nas fórmulas: p é a pressão interna, r é o raio, t é a espessura, e \sigma tem unidades de \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^2.

Passo 3

Agora aplicamos os valores para obter a tensão circunferencial. Substituindo \;p=15\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^2,\;r=8\\ \mathrm{cm},\;t=0,4\\ \mathrm{cm}\; em
\sigma_\theta=\frac{p\,r}{t},
temos
\sigma_\theta=\frac{15\cdot 8}{0,4}\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^2.
Calculando:
\frac{15\cdot 8}{0,4}=\frac{120}{0,4}=300.
Logo,
\sigma_\theta=300\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^2.

Passo 4

Agora a tensão longitudinal, usando
\sigma_\ell=\frac{p\,r}{2t}.
Substituindo os mesmos valores:
\sigma_\ell=\frac{15\cdot 8}{2\cdot 0,4}\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^2.
Calculando:
2\cdot 0,4=0,8,\quad\frac{15\cdot 8}{0,8}=\frac{120}{0,8}=150.
Portanto
\sigma_\ell=150\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^2.

Passo 5

Agora vamos transformar essas tensões em deformação radial. Primeiro precisamos da deformação circumferencial (tangencial) \varepsilon_\theta. Para uma casca fina a situação é de “plane stress” (tensão radial através da espessura é desprezível comparada às outras), e a lei de Hooke generalizada dá:
\varepsilon_\theta=\frac{1}{E}\big(\sigma_\theta-\nu\,\sigma_\ell\big).
Explicando a fórmula de forma didática:
  • \varepsilon_\theta é a deformação na direção circumferencial (fração de alongamento da circunferência).
  • E é o módulo de Young, que relaciona tensão e deformação linearmente.
  • \nu é Poisson; a presença do termo -\nu\sigma_\ell mostra que a tensão na direção axial provoca contração/expansão na direção circumferencial (acoplamento elástico).
  • Desprezamos a tensão radial através da espessura porque o tubo é fino ( t\ll r), então o estado de tensões é bem aproximado por “plane stress”.

Passo 6

Substituindo os valores em
\varepsilon_\theta=\frac{1}{E}\big(\sigma_\theta-\nu\,\sigma_\ell\big),
temos
\varepsilon_\theta=\frac{1}{2,1\cdot10^{6}}\big(300-0,3\cdot150\big).
Calcule o parêntese:
0,3\cdot150=45,\quad 300-45=255.
Então
\varepsilon_\theta=\frac{255}{2,1\cdot10^{6}}.
Efetuando a divisão:
\varepsilon_\theta \approx 1,2142857\cdot10^{-4}\\ (\text{adimensional}).

Passo 7

A deformação circumferencial \varepsilon_\theta está relacionada com a variação do raio \Delta r através da variação da circunferência. Para pequenas deformações:
\varepsilon_\theta=\frac{\Delta(2\pi r)}{2\pi r}=\frac{\Delta r}{r}.
Logo
\Delta r = r\,\varepsilon_\theta.
Substituindo r=8\\ \mathrm{cm} e \varepsilon_\theta\approx 1,2142857\cdot10^{-4}:
\Delta r = 8\cdot 1,2142857\cdot10^{-4}\\ \mathrm{cm}\approx 9,7142857\cdot10^{-4}\\ \mathrm{cm}.
Em notação decimal:
\Delta r \approx 0,00097143\\ \mathrm{cm}.
Se preferir em milímetros:
\Delta r \approx 0,0097143\\ \mathrm{mm}.

Resposta

\sigma_\theta=300\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^2
\sigma_\ell=150\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^2
\Delta r\approx0,0009714\\ \mathrm{cm} (ou \approx0,009714\\ \mathrm{mm})

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