(Callister 9.21) Um componente estrutural na forma de uma placa larga deve ser fabricado a partir de uma liga de aço que tem uma tenacidade à fratura por deformação plana de 77 \mathrm{MPa} \sqrt{m} e um limite de escoamento de 1400 MPa . O limite de resolução do tamanho da falha do aparelho de detecção de falhas é de 4,0 \mathrm{~mm}. Se a tensão de projeto for metade da resistência ao escoamento e o valor de Y for 1,0 , determine se uma falha crítica para esta placa está ou não sujeita à detecção.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pergunta o que segue:
  • Tenacidade à fratura em deformação plana: K_{Ic}=77\\ \mathrm{MPa}\sqrt{\mathrm{m}}.
  • Limite de escoamento: \sigma_Y=1400\\ \mathrm{MPa}.
  • Limite de resolução do detector (menor falha que o aparelho consegue ver): a_{\text{det}}=4{,}0\\ \mathrm{mm}.
  • A tensão de projeto é metade da resistência ao escoamento, ou seja \sigma_{\text{proj}}=\tfrac{1}{2}\sigma_Y.
  • Fator geométrico: Y=1{,}0.
    Pergunta: determinar se uma falha crítica para a placa estaria sujeita à detecção pelo aparelho (ou seja, se o tamanho crítico da falha é maior ou menor que a_{\text{det}}).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar:
  • A fratura é avaliada pelo critério de que o deslocamento de tensão na ponta da trinca, medido pelo fator de intensidade de tensão K_I, atinge a tenacidade à fratura K_{Ic}.
  • Para a geometria dada (e com Y fornecido), a condição de fratura crítica é
K_{Ic}=Y\,\sigma_{\text{proj}}\,\sqrt{\pi a_c},
onde:
  • K_{Ic} é a tenacidade (unidade: \mathrm{MPa}\sqrt{\mathrm{m}});
  • Y é o fator geométrico adimensional;
  • \sigma_{\text{proj}} é a tensão aplicada (unidade: \mathrm{MPa});
  • a_c é o tamanho da trinca associado à fratura crítica (unidade: \mathrm{m}) — atenção: nesta fórmula a deve estar em metros porque K_{Ic} tem \sqrt{\mathrm{m}}.
    Explicação rápida: a fórmula relaciona a severidade do campo de tensões na ponta da trinca ( K_I) com a resistência do material à propagação da trinca ( K_{Ic}). Se K_I atingir K_{Ic}, a trinca propaga criticamente.

Passo 3

Isolando a_c da equação:
K_{Ic}=Y\,\sigma_{\text{proj}}\,\sqrt{\pi a_c}
primeiro dividimos ambos os lados por Y\sigma_{\text{proj}}:
\frac{K_{Ic}}{Y\sigma_{\text{proj}}}=\sqrt{\pi a_c}.
Agora elevamos ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
\left(\frac{K_{Ic}}{Y\sigma_{\text{proj}}}\right)^2=\pi a_c.
Finalmente isolamos a_c:
a_c=\frac{1}{\pi}\left(\frac{K_{Ic}}{Y\sigma_{\text{proj}}}\right)^2.
Comentário didático: essa expressão dá o tamanho da trinca — em metros — que faz com que o fator de intensidade de tensão alcance a tenacidade do material.

Passo 4

Calcular numericamente usando os dados:
  • Tensão de projeto:
\sigma_{\text{proj}}=\tfrac{1}{2}\sigma_Y=\tfrac{1}{2}\cdot 1400\\ \mathrm{MPa}=700\\ \mathrm{MPa}.
  • Substituindo em a_c:
a_c=\frac{1}{\pi}\left(\frac{77\\ \mathrm{MPa}\sqrt{\mathrm{m}}}{1{,}0\cdot 700\\ \mathrm{MPa}}\right)^2.
Calcule passo a passo:
\frac{77}{700}=0{,}11,
\left(0{,}11\right)^2=0{,}0121,
a_c=\frac{0{,}0121}{\pi}= \frac{0{,}0121}{3{,}14159265\ldots}=0{,}003852\\ \mathrm{m}.
Converter para milímetros ( 1\\ \mathrm{m}=1000\\ \mathrm{mm}):
a_c=0{,}003852\\ \mathrm{m}=3{,}85\\ \mathrm{mm}\quad(\text{aprox.}).

Passo 5

Comparação com o limite de detecção:
  • Tamanho crítico calculado: a_c\approx 3{,}85\\ \mathrm{mm}.
  • Limite de detecção do aparelho: a_{\text{det}}=4{,}0\\ \mathrm{mm}.
    Observação numérica: a_c < a_{\text{det}} por uma pequena margem, isto é, a falha crítica é ligeiramente menor do que o menor defeito que o detector consegue ver.

Resposta

a_c \approx 3{,}85\\ \mathrm{mm}.
Como a_c < 4{,}0\\ \mathrm{mm}, a falha crítica NÃO será detectada pelo aparelho.

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