Questão 4 ( 2,0 pontos) - A velocidade de uma partícula é dada por \mathrm{v}=\left\{16 \mathrm{t}^{2} \mathrm{i}\right. \left.+4 \mathrm{t}^{3} \mathbf{j}+(5 \mathrm{t}+2) \mathbf{k}\right\} \mathrm{m} / \mathrm{s}, onde t é dado em segundos. Se a partícula está na origem quando t=0 \mathrm{~s}, determine a intensidade da aceleração da partícula quando t=5 \mathrm{~s}. Calcule também a posição das coordenadas x, y e z neste instante.

Passo 1

O enunciado nos dá a velocidade vetorial
\mathbf v(t)=16t^2\,\mathbf i \;+\;4t^3\,\mathbf j\;+\;(5t+2)\,\mathbf k
e pede (a) a intensidade da aceleração em t=5 s e (b) a posição (x,y,z) nesse instante. Vamos usar derivada de vetor para achar \mathbf a(t) e depois integrar \mathbf v(t) para obter \mathbf r(t), aplicando a condição inicial \mathbf r(0)=\mathbf0.

Passo 2

Aceleração é a derivada de \mathbf v(t):
\mathbf a(t)=\frac{d\mathbf v}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(16t^2\bigr)\mathbf i +\frac{d}{dt}\bigl(4t^3\bigr)\mathbf j +\frac{d}{dt}\bigl(5t+2\bigr)\mathbf k =32t\,\mathbf i+12t^2\,\mathbf j+5\,\mathbf k.

Passo 3

Em t=5 s temos
\mathbf a(5)=32\cdot5\,\mathbf i+12\cdot5^2\,\mathbf j+5\,\mathbf k =160\,\mathbf i+300\,\mathbf j+5\,\mathbf k.
A intensidade é
\|\mathbf a(5)\| =\sqrt{160^2+300^2+5^2} =\sqrt{115625} =25\sqrt{185}\approx340,03\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 4

Para a posição, integramos \mathbf v(t) e usamos \mathbf r(0)=\mathbf0:
\mathbf r(t) =\int\mathbf v(t)\,dt =\int16t^2\,dt\,\mathbf i +\int4t^3\,dt\,\mathbf j +\int(5t+2)\,dt\,\mathbf k =\frac{16}{3}t^3\,\mathbf i+t^4\,\mathbf j+\Bigl(\frac{5}{2}t^2+2t\Bigr)\mathbf k.

Passo 5

Avaliar em t=5 s:
x(5)=\frac{16}{3}\cdot5^3=\frac{2000}{3}\\ \mathrm{m},\quad y(5)=5^4=625\\ \mathrm{m},\quad z(5)=\frac{5}{2}\cdot5^2+2\cdot5=\frac{145}{2}\\ \mathrm{m}.

Resposta

A intensidade da aceleração em t=5 s é
\|\mathbf a(5)\|=25\sqrt{185}\approx340,03\\ \mathrm{m/s^2}.
As coordenadas da posição nesse instante são
x(5)=\frac{2000}{3}\\ \mathrm{m},\quad y(5)=625\\ \mathrm{m},\quad z(5)=\frac{145}{2}\\ \mathrm{m}.

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