Calcule o momento de inércia polar \bar{J}_{C} em relação ao centroide C. Considere a placa tendo área 25 \mathrm{~cm}^{2} e os momentos de inércia polares em relação aos pontos A, B e D, respectivamente, J_{A}=281 \mathrm{~cm}^{4}, J_{B}=810 \mathrm{~cm}^{4} e J_{D}=1578 \mathrm{~cm}^{4}.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia polar \bar J_{C} em relação ao centroide C de uma placa de área A=25\text{ cm}^2. Conhecemos os momentos polares em três pontos A, B e D:
\;J_{A}=281\text{ cm}^4,\;J_{B}=810\text{ cm}^4,\;J_{D}=1578\text{ cm}^4.
O conteúdo principal é o teorema dos eixos paralelos para momento polar.

Passo 2

Definimos as coordenadas relativas ao centroide C:
C=(0,0), A=(-a,0), B=(-a,-d), D=(2a,-d).
Pelo teorema dos eixos paralelos em polar, para cada ponto P vale
J_{P} \;=\;\bar J_{C} \;+\;A\,\rho_{CP}^{2},
onde \rho_{CP} é a distância de C a P.

Passo 3

Escrevemos as três equações:
J_{A} = \bar J_{C} + A\,a^{2},
J_{B} = \bar J_{C} + A\,(a^{2}+d^{2}),
J_{D} = \bar J_{C} + A\,(4a^{2}+d^{2}).
Para eliminar a^{2} e d^{2}, fazemos
J_{D}-J_{B} \;=\; A\,(4a^2+d^2) - A\,(a^2+d^2) \;=\;3A\,a^2,
J_{B}-J_{A} \;=\; A\,(a^2+d^2) - A\,a^2 \;=\;A\,d^2.
Mas o modo mais direto é combinar as três em
3J_A + J_B - J_D = 3\,\bar J_{C}.
Logo
\bar J_{C} = \frac{3J_{A} + J_{B} - J_{D}}{3}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos:
\bar J_{C} = \frac{3\cdot281 + 810 - 1578}{3} = \frac{843 + 810 - 1578}{3} = \frac{75}{3} = 25.

Resposta

\bar J_{C} = 25\text{ cm}^4

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