Questão 2 (3,5 ptos)
Obter:
a) expressão matemática de v1 (1,0 pto)

Passo 1

O enunciado pede: obter a expressão matemática de v_1.
Informações relevantes extraídas da figura (peguei estes dados da imagem enviada):
  • Existem três formas de onda senoidais com a mesma frequência, com amplitudes diferentes. Os valores relativos de amplitude visíveis são 20\\ \text{V}, 40\\ \text{V} e 58{,}1\\ \text{V}.
  • À direita a menor das três cristas chega a cerca de 20\\ \text{V} acima do eixo, a do meio a 40\\ \text{V} e a maior a 58{,}1\\ \text{V}.
  • À esquerda a figura mostra diferenças de fase entre os picos: os três picos estão deslocados para a esquerda em 30^\circ, 40^\circ e 60^\circ (essas são as fases relativas indicadas na imagem).
  • Nos rótulos centrais das vales observa-se v_1 como o vale menos profundo, v_2 mais profundo e v_3 o mais profundo — portanto v_1 corresponde à menor amplitude (isto é, ao sinal de 20\\ \text{V}).
  • Não há indicação numérica de frequência; então a expressão deve ficar em termos de \omega (velocidade angular).
Observação importante (decisão que tomo baseada na figura): vou assumir que o marcador de 30^\circ corresponde ao deslocamento de fase do sinal associado a v_1 (isto é, o pico desse senoide ocorre 30^\circ antes da referência vertical mostrada). Se a sua figura usar outra convenção, a ideia do procedimento é a mesma — muda-se apenas o valor numérico do ângulo.

Passo 2

Lembrando a forma geral de uma senoide:
v(t)=V_m\sin\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
onde:
  • V_m é a amplitude (valor de pico, em volts);
  • \omega é a velocidade angular (em rad/s), \omega=2\pi f se a frequência f for conhecida;
  • \varphi é a defasagem (fase) em radianos (ou graus, conforme conveniente);
  • a função \sin atinge máximo quando o argumento é 90^\circ (ou \pi/2 rad).
Também é útil lembrar a equivalência entre seno e cosseno:
\sin(\theta+\tfrac{\pi}{2})=\cos\theta,
ou, em graus,
\sin(\theta+90^\circ)=\cos\theta.
Isso permite escrever a mesma forma da tensão como seno ou cosseno com fases diferentes.

Passo 3

Determinar a amplitude de v_1.
Da imagem (peguei este valor da imagem) o menor pico positivo corresponde a 20\\ \text{V}. Como o rótulo v_1 está associado à senoide de menor amplitude, tomo
V_{m1}=20\\ \text{V}.

Passo 4

Determinar a fase de v_1.
Da imagem (peguei este dado da imagem) o pico dessa senoide ocorre 30^\circ antes da referência vertical indicada; isto é, o pico está adiantado em 30^\circ. Vamos relacionar isso com \varphi:
  • Para a função \sin(\omega t+\varphi) o máximo ocorre quando \omega t+\varphi=90^\circ.
  • Se o pico ocorre em t=t_{\text{pico}}=-30^\circ/\omega (isto é, 30^\circ antes de t=0), então
\omega t_{\text{pico}}+\varphi = 90^\circ.
Substituindo t_{\text{pico}}=-30^\circ/\omega:
-30^\circ + \varphi = 90^\circ \quad\Rightarrow\quad \varphi = 120^\circ.
Portanto, a fase necessária para que o pico ocorra 30^\circ antes da referência é \varphi=120^\circ. (Se preferir trabalhar em radianos, \varphi=120^\circ= \tfrac{2\pi}{3}\\ \text{rad}.)

Passo 5

Escrever a expressão final para v_1(t).
Usando V_{m1}=20\\ \text{V} e \varphi=120^\circ, a forma em seno é
v_1(t)=20\sin\bigl(\omega t+120^\circ\bigr)\\ \text{V}.
Opcionalmente, podemos usar a forma em cosseno (às vezes mais intuitiva porque o cosseno tem máximo em argumento 0^\circ). Convertendo:
\sin\bigl(\omega t+120^\circ\bigr)=\cos\bigl(\omega t+30^\circ\bigr),
logo uma forma alternativa equivalente é
v_1(t)=20\cos\bigl(\omega t+30^\circ\bigr)\\ \text{V}.
Ambas as expressões representam a mesma senoide; escolha a forma (seno ou cosseno) que seu professor preferir.

Resposta

v_1(t)=20\sin\bigl(\omega t+120^\circ\bigr)\\ \text{V}
ou, equivalentemente,
v_1(t)=20\cos\bigl(\omega t+30^\circ\bigr)\\ \text{V}.

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