- Seja um sistema LCIT representado por
. Obtenha a resposta impulsiva e a função de transferência do sistema. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de um sistema LCIT:
O que se pede:
- obter a função de transferência do sistema, isto é
; - obter a resposta ao impulso
(impulse response) do sistema.
Informações relevantes explícitas: - a equação relaciona
e por derivadas de ordem até 2; - o sistema é linear, constante no tempo e invariante (LCIT) segundo o enunciado (logo faz sentido falar em função de transferência e resposta ao impulso);
- ao calcular a resposta ao impulso assume-se condições iniciais nulas (sistema em repouso antes do impulso).
Passo 2
Estratégia e justificativa do método (sem ainda calcular): para obter a função de transferência usa-se a transformada de Laplace da equação diferencial supondo condições iniciais nulas (isto é o procedimento padrão para sistemas LCIT). Explico resumidamente as ferramentas que vou usar:
- Transformada de Laplace (com condições iniciais nulas):
. - Definição de função de transferência:
assumindo condições iniciais nulas. - A resposta ao impulso
é a transformada inversa de : . Se não for própria (grau numerador grau denominador) convém fazer divisão polinomial antes de inverter. - Lembrança útil:
e (para ). Também já que .
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace à equação dada, com condições iniciais nulas (
, etc.). Tomando Laplace de cada termo:
Substituindo na equação:
Coloco os fatores comuns:
Passo 4
A função de transferência é
. Da equação do Passo 3 segue:
Posso também reescrever fazendo divisão polinomial (útil para inverter a transformada):
Portanto uma forma conveniente é
Passo 5
Agora obtenho a resposta ao impulso
. Uso que a transformada inversa de uma constante é um impulso:
. Para o segundo termo, faço a inversa de
.
Observação: pode ser escrita em frações parciais:
Observação:
Aplicando a transformada inversa:
Logo
Como em
esse termo aparece com sinal negativo, a contribuição é
.
Passo 6
Juntando as duas partes (a do termo constante e a do termo racional) obtemos:
Interpretação rápida e encorajamento: o sistema contém termos com derivadas no lado do sinal de entrada, então a resposta ao impulso tem um componente singular (impulso multiplicado por
) mais uma parte contínua
. Está tudo certo — respira, é só seguir a receita da Laplace.