1. Seja um sistema LCIT representado por \frac{d^{2} y(t)}{d t^{2}}-y(t)=-2 \frac{d^{2} x(t)}{d t^{2}}+x(t). Obtenha a resposta impulsiva e a função de transferência do sistema. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de um sistema LCIT:
\frac{d^{2} y(t)}{d t^{2}}-y(t)=-2 \frac{d^{2} x(t)}{d t^{2}}+x(t).
O que se pede:
  • obter a função de transferência do sistema, isto é \displaystyle H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)};
  • obter a resposta ao impulso h(t) (impulse response) do sistema.
    Informações relevantes explícitas:
  • a equação relaciona y(t) e x(t) por derivadas de ordem até 2;
  • o sistema é linear, constante no tempo e invariante (LCIT) segundo o enunciado (logo faz sentido falar em função de transferência e resposta ao impulso);
  • ao calcular a resposta ao impulso assume-se condições iniciais nulas (sistema em repouso antes do impulso).

Passo 2

Estratégia e justificativa do método (sem ainda calcular): para obter a função de transferência usa-se a transformada de Laplace da equação diferencial supondo condições iniciais nulas (isto é o procedimento padrão para sistemas LCIT). Explico resumidamente as ferramentas que vou usar:
  • Transformada de Laplace (com condições iniciais nulas): \mathcal{L}\{\tfrac{d^{2}y}{dt^{2}}\}=s^{2}Y(s).
  • Definição de função de transferência: \displaystyle H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)} assumindo condições iniciais nulas.
  • A resposta ao impulso h(t) é a transformada inversa de \;H(s): \;h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}. Se H(s) não for própria (grau numerador \ge grau denominador) convém fazer divisão polinomial antes de inverter.
  • Lembrança útil: \mathcal{L}\{\delta(t)\}=1 e \mathcal{L}\{e^{at}u(t)\}=\dfrac{1}{s-a} (para \Re(s) > \Re(a)). Também \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^{2}-1}\}=\operatorname{sinh}(t)u(t) já que \operatorname{sinh}(t)=\tfrac{e^{t}-e^{-t}}{2}.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace à equação dada, com condições iniciais nulas ( y(0^-)=0,\;y'(0^-)=0, etc.). Tomando Laplace de cada termo:
\mathcal{L}\!\left\{\frac{d^{2} y}{dt^{2}}\right\}=s^{2}Y(s),\qquad \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s),
\mathcal{L}\!\left\{\frac{d^{2} x}{dt^{2}}\right\}=s^{2}X(s),\qquad \mathcal{L}\{x(t)\}=X(s).
Substituindo na equação:
s^{2}Y(s)-Y(s) = -2\,s^{2}X(s)+X(s).
Coloco os fatores comuns:
\bigl(s^{2}-1\bigr)Y(s) = \bigl(-2s^{2}+1\bigr)X(s).

Passo 4

A função de transferência é \;H(s)=\dfrac{Y(s)}{X(s)}. Da equação do Passo 3 segue:
H(s)=\frac{-2s^{2}+1}{s^{2}-1}.
Posso também reescrever fazendo divisão polinomial (útil para inverter a transformada):
\frac{-2s^{2}+1}{s^{2}-1} = -2 \;+\; \frac{-1}{s^{2}-1}.
Portanto uma forma conveniente é
H(s) = -2 \;-\; \frac{1}{s^{2}-1}.

Passo 5

Agora obtenho a resposta ao impulso h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}. Uso que a transformada inversa de uma constante é um impulso: \mathcal{L}^{-1}\{-2\}=-2\delta(t). Para o segundo termo, faço a inversa de \dfrac{1}{s^{2}-1}.
Observação: \dfrac{1}{s^{2}-1} pode ser escrita em frações parciais:
\frac{1}{s^{2}-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s+1}\right).
Aplicando a transformada inversa:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-1}\right\}=e^{t}u(t),\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+1}\right\}=e^{-t}u(t).
Logo
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}-1}\right\}=\frac{1}{2}\bigl(e^{t}-e^{-t}\bigr)u(t)=\operatorname{sinh}(t)\,u(t).
Como em H(s) esse termo aparece com sinal negativo, a contribuição é -\operatorname{sinh}(t)u(t).

Passo 6

Juntando as duas partes (a do termo constante e a do termo racional) obtemos:
h(t) = -2\delta(t) \;-\; \operatorname{sinh}(t)\,u(t).
Interpretação rápida e encorajamento: o sistema contém termos com derivadas no lado do sinal de entrada, então a resposta ao impulso tem um componente singular (impulso multiplicado por -2) mais uma parte contínua -\operatorname{sinh}(t)u(t). Está tudo certo — respira, é só seguir a receita da Laplace.

Resposta

H(s)=\dfrac{-2s^{2}+1}{s^{2}-1} = -2 \;-\; \dfrac{1}{s^{2}-1}.
h(t)=-2\delta(t)-\operatorname{sinh}(t)\,u(t).

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