Questão 4:

De uma quantidade de solo \mathrm{P}=22,0 \mathrm{~kg} e volume respectivo \mathrm{V}=12,21, extrai-se uma pequena amostra, para a qual determina-se: peso úmido =70 \mathrm{~g}, peso seco =58 \mathrm{~g} e peso específico das partículas 26,7 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}. Pede-se calcular: teor de umidade ( w ), peso da parte sólida (Ps), peso da água (Pw), volume da parte sólida (Vs), peso específico aparente seco ( \gamma ), índice de vazios (e), volume de vazios (Vv), porosidade (n), grau de saturação (S), teor de umidade admitindo-se o solo saturado (hsat) e o peso específico saturado ( \gamma sat).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou escrever tudo explicitamente para não restar dúvida):
  • Massa total de solo: P=22,0\\ \text{kg}.
  • Volume correspondente: V=12,21. Vou assumir que esse volume está em litros (quando não informado costuma ser assim em problemas práticos), portanto V=12,21\\ \text{L}=0,01221\\ \text{m}^3.
  • Amostra retirada (valores medidos na amostra):
    • peso úmido (massa úmida) =70\\ \text{g}.
    • peso seco (massa seca) =58\\ \text{g}.
  • peso específico das partículas (unit weight dos grãos) \gamma_s=26,7\\ \text{kN}/\text{m}^3.
  • valor padrão da água: \gamma_w=9,81\\ \text{kN}/\text{m}^3 e \rho_w=1000\\ \text{kg}/\text{m}^3.
O enunciado pede calcular, para a quantidade total P=22,0\\ \text{kg}:
  • teor de umidade w (a partir da amostra),
  • peso (massa) da parte sólida P_s,
  • peso (massa) da água P_w,
  • volume da parte sólida V_s,
  • peso específico aparente seco \gamma (unidade seca, i.e. \gamma_d),
  • índice de vazios e,
  • volume de vazios V_v,
  • porosidade n,
  • grau de saturação S,
  • teor de umidade assumindo solo saturado w_{sat},
  • peso específico saturado \gamma_{sat}.

Passo 2

Calcular o teor de umidade w a partir da amostra úmida e seca.
Definição: o teor de umidade w (massa de água por massa de sólidos) é
w=\frac{M_\text{água}}{M_\text{sólidos}}=\frac{M_\text{úmida}-M_\text{seca}}{M_\text{seca}}.áóú
Na amostra: M_\text{úmida}=70\\ \text{g}ú e M_\text{seca}=58\\ \text{g}. Então
w=\frac{70-58}{58}=\frac{12}{58}=0,2068965517\approx0,2069.
Em porcentagem: w\approx20,69\%.
Observação didática curta: w é adimensional (fração) e indica que há, na amostra, cerca de 0{,}2069 kg de água por kg de sólidos. Esse w passa para toda a amostra total assumindo homogeneidade.

Passo 3

Calcular as massas da parte sólida e da água para a quantidade total P=22,0\\ \text{kg}.
Usando a relação entre massa total P, massa de sólidos P_s e teor w:
P = P_s + P_w = P_s + w\,P_s = P_s(1+w).
Logo
P_s=\frac{P}{1+w},\qquad P_w=P-P_s.
Substituindo P=22{,}0\\ \text{kg} e w=0{,}2068965517:
P_s=\frac{22{,}0}{1+0{,}2068965517}=\frac{22{,}0}{1{,}2068965517}=18{,}2285714286\\ \text{kg}\approx18{,}229\\ \text{kg},
P_w=22{,}0-18{,}2285714286=3{,}7714285714\\ \text{kg}\approx3{,}771\\ \text{kg}.
Didática: é comum esquecer que P é massa total (úmida). Para obter massa de sólidos dividimos por 1+w.

Passo 4

Determinar o volume da parte sólida V_s.
Primeiro, convém obter a gravidade específica dos sólidos G_s (adimensional) a partir de \gamma_s e \gamma_w:
G_s=\frac{\gamma_s}{\gamma_w}=\frac{26{,}7}{9{,}81}=2{,}720285171\approx2{,}72.
A densidade dos sólidos é \rho_s=G_s\rho_w, portanto
\rho_s=2{,}720285171\cdot1000=2720{,}285171\\ \text{kg}/\text{m}^3.
O volume dos sólidos é massa de sólidos dividida pela densidade dos sólidos:
V_s=\frac{P_s}{\rho_s}=\frac{18{,}2285714286}{2720{,}285171}=0{,}006700902\\ \text{m}^3\approx0{,}006701\\ \text{m}^3.
Didática: usar \gamma_s para achar G_s é prático porque \gamma_w é conhecido; depois \rho_s=G_s\rho_w e V_s=M_s/\rho_s.

Passo 5

Calcular o peso específico aparente seco \gamma (i.e. unidade seca \gamma_d).
Definição: \gamma_d é o peso (força) seco por volume total. Em prática usamos massas e convertemos para kN:
W_d = P_s\cdot g \quad(\text{N}),\qquad W_d\\ (\text{kN})=\frac{P_s g}{1000}.
Então
\gamma_d=\frac{W_d}{V}=\frac{P_s g/1000}{V}.
Tomando g=9{,}81\\ \text{m}/\text{s}^2, P_s=18{,}2285714286\\ \text{kg} e V=0{,}01221\\ \text{m}^3,
\gamma_d=\frac{18{,}2285714286\cdot9{,}81/1000}{0{,}01221}= \frac{0{,}178808\\ \text{kN}}{0{,}01221\\ \text{m}^3}=14{,}6455\\ \text{kN}/\text{m}^3\approx14{,}646\\ \text{kN}/\text{m}^3.
Comentário prático: alguns livros usam diretamente \gamma_d=\dfrac{\rho_d g}{1000} com \rho_d=P_s/V. Aqui foi mostrado passo a passo para deixar claro a conversão massa→peso.

Passo 6

Calcular o volume de vazios V_v, o índice de vazios e e a porosidade n.
Definições e fórmulas:
V_v=V-V_s,\qquad e=\frac{V_v}{V_s},\qquad n=\frac{V_v}{V}.
Substituindo os valores:
V_v=0{,}01221-0{,}006700902=0{,}005509098\\ \text{m}^3\approx0{,}005509\\ \text{m}^3,
e=\frac{0{,}005509098}{0{,}006700902}=0{,}8220\approx0{,}822,
n=\frac{0{,}005509098}{0{,}01221}=0{,}4512\approx0{,}451.
Didática: o índice de vazios e é adimensional e frequentemente usado em geotecnia; a porosidade n é fração do volume total ocupado por vazios (0 a 1).

Passo 7

Calcular o grau de saturação S.
Definição: S é a fração do volume de vazios ocupada por água:
S=\frac{V_w}{V_v},
onde o volume de água V_w vem de V_w=\dfrac{P_w}{\rho_w} (massa de água dividida pela densidade da água).
Temos P_w=3{,}7714285714\\ \text{kg}, então
V_w=\frac{3{,}7714285714}{1000}=0{,}003771429\\ \text{m}^3.
Logo
S=\frac{0{,}003771429}{0{,}005509098}=0{,}68466\approx0{,}6847,
ou em porcentagem S\approx68{,}47\%.
Comentário: S<1 confirma que o solo NÃO está saturado inicialmente — há ar nos vazios.

Passo 8

Calcular o teor de umidade assumindo o solo saturado w_{sat}.
Se o solo estivesse saturado ( S=1), a massa de água necessária é
P_{w,sat}=\rho_w V_v =1000\cdot V_v.
Então o teor saturado é
w_{sat}=\frac{P_{w,sat}}{P_s}=\frac{1000 V_v}{P_s}.
Substituindo:
P_{w,sat}=1000\cdot0{,}005509098=5{,}509098\\ \text{kg},
w_{sat}=\frac{5{,}509098}{18{,}2285714286}=0{,}30235\approx0{,}3024,
ou seja w_{sat}\approx30{,}24\%.
Didática: esse w_{sat} é a umidade que faria S=1; é útil para previsão de comportamento quando se encharca o solo.

Passo 9

Calcular o peso específico saturado \gamma_{sat}.
No estado saturado o peso total (em kN) é W_{sat}=W_s+W_{w,sat} onde
W_s=\frac{P_s g}{1000},\qquad W_{w,sat}=\frac{P_{w,sat} g}{1000}.
Então
\gamma_{sat}=\frac{W_{sat}}{V}=\frac{(P_s+P_{w,sat})g/1000}{V}.
Usando P_s=18{,}2285714286\\ \text{kg}, P_{w,sat}=5{,}509098\\ \text{kg}, V=0{,}01221\\ \text{m}^3:
W_{sat}=\frac{(18{,}2285714286+5{,}509098)\cdot9{,}81}{1000}= \frac{23{,}7376694286\cdot9{,}81}{1000}=0{,}232818\\ \text{kN},
\gamma_{sat}=\frac{0{,}232818}{0{,}01221}=19{,}0706\\ \text{kN}/\text{m}^3\approx19{,}071\\ \text{kN}/\text{m}^3.
Checagem rápida (intuitiva): \gamma_{sat} deve ser maior que \gamma_d e menor que \gamma_d+\gamma_w — aqui faz sentido numérico.

Resposta

w=0,2069 (20,69%)
P_s=18,2286\\ \text{kg}
P_w=3,7714\\ \text{kg}
V_s=0,006701\\ \text{m}^3
\gamma=14,646\\ \text{kN}/\text{m}^3
e=0,822
V_v=0,005509\\ \text{m}^3
n=0,451
S=0,6847 (68,47%)
w_{sat}=0,3024 (30,24%)
\gamma_{sat}=19,071\\ \text{kN}/\text{m}^3

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