Questão 8. Resolva a equação do calor ou da onda dada. Em todos os casos, assuma -\infty< x<\infty e t>0 :
\left\{\begin{array}{l}u_{t t}=u_{x x} \\\ u(x, 0)=\cos (x) \chi_{[-\pi / 2, \pi / 2]} \\\ u_{t}(x, 0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação da onda unidimensional
u_{tt} = u_{xx},\quad -\infty<x<\infty,\;t>0
com condições iniciais
u(x,0)=\cos(x)\,\chi_{[-\pi/2,\pi/2]}(x),\qquad u_t(x,0)=0.
O conteúdo é o método de D’Alembert para resolver a equação da onda na reta.

Passo 2

Pelo método de D’Alembert, a solução geral com condições iniciais u(x,0)=f(x) e u_t(x,0)=g(x) é
u(x,t)=\frac{f(x+ t)+f(x- t)}{2} +\frac{1}{2}\int_{x-t}^{\,x+t}g(s)\,ds.
Como aqui g(x)=0, o segundo termo some.

Passo 3

Identificamos f(x)=\cos(x)\,\chi_{[-\pi/2,\pi/2]}(x). Logo
u(x,t) =\frac{1}{2}\,f(x+t)+\frac{1}{2}\,f(x-t).

Passo 4

Substituindo f voltamos a escrever o indicador:
u(x,t) =\frac{1}{2}\Bigl[\cos(x+t)\,\chi_{[-\pi/2,\pi/2]}(x+t) +\cos(x-t)\,\chi_{[-\pi/2,\pi/2]}(x-t)\Bigr].

Resposta

u(x,t) =\frac{1}{2}\Bigl[\cos(x+t)\,\chi_{[-\pi/2,\pi/2]}(x+t) +\cos(x-t)\,\chi_{[-\pi/2,\pi/2]}(x-t)\Bigr].

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