Questão 1: Resolva as integrais das funções elementares a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é
. Pergunta: encontrar uma primitiva (integral indefinida) dessa função, ou seja, uma expressão antiderivada mais constante de integração.
Passo 2
Vamos usar identidades trigonométricas básicas que tornam a integral fácil de integrar term a termo. Duas identidades muito úteis são:
e
Essas identidades vêm da relação
dividindo por
(para obter a da tangente/sekante) ou por
(para obter a da cotangente/cosecante). Por exemplo, dividindo por
obtemos
já que
e
.
Passo 3
Substituímos
e
usando as identidades acima:
Agora aplicamos isso ao integrando:
Desenvolvendo os parênteses:
Agrupando termos semelhantes:
Portanto a integral fica
Passo 4
Agora integramos termo a termo. Lembremos das derivadas (que nos dizem as integrais imediatas):
Dessas, seguem as integrais básicas:
Também vale a integral óbvia
Passo 5
Aplicando as integrais a cada termo com os fatores constantes:
Somando tudo e incluindo a constante de integração
, obtemos uma primitiva:
Passo 6
Podemos checar rapidamente derivando para confirmar:
que coincide com o integrando que obtivemos em