Questão 1: Resolva as integrais das funções elementares a seguir.
\int\left(2 \cot ^{2} x-3 \tan ^{2} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(2\cot^{2}x-3\tan^{2}x\right)\,dx.
Informações dadas: a função a integrar é 2\cot^{2}x-3\tan^{2}x. Pergunta: encontrar uma primitiva (integral indefinida) dessa função, ou seja, uma expressão antiderivada mais constante de integração.

Passo 2

Vamos usar identidades trigonométricas básicas que tornam a integral fácil de integrar term a termo. Duas identidades muito úteis são:
1+\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x
e
1+\cot^{2}x=\csc^{2}x.
Essas identidades vêm da relação \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 dividindo por \cos^{2}x (para obter a da tangente/sekante) ou por \sin^{2}x (para obter a da cotangente/cosecante). Por exemplo, dividindo por \cos^{2}x obtemos \tan^{2}x+1=\operatorname{sec}^{2}x já que \tan x=\sin x/\cos x e \operatorname{sec} x=1/\cos x.

Passo 3

Substituímos \cot^{2}x e \tan^{2}x usando as identidades acima:
\cot^{2}x=\csc^{2}x-1, \qquad \tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1.
Agora aplicamos isso ao integrando:
2\cot^{2}x-3\tan^{2}x =2(\csc^{2}x-1)-3(\operatorname{sec}^{2}x-1).
Desenvolvendo os parênteses:
=2\csc^{2}x-2-3\operatorname{sec}^{2}x+3.
Agrupando termos semelhantes:
=2\csc^{2}x-3\operatorname{sec}^{2}x+1.
Portanto a integral fica
\int\left(2\cot^{2}x-3\tan^{2}x\right)\,dx =\int\left(2\csc^{2}x-3\operatorname{sec}^{2}x+1\right)\,dx.

Passo 4

Agora integramos termo a termo. Lembremos das derivadas (que nos dizem as integrais imediatas):
\frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x, \qquad \frac{d}{dx}\cot x=-\csc^{2}x.
Dessas, seguem as integrais básicas:
\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx=\tan x + C, \qquad \int \csc^{2}x\,dx=-\cot x + C.
Também vale a integral óbvia
\int 1\,dx = x + C.

Passo 5

Aplicando as integrais a cada termo com os fatores constantes:
\int 2\csc^{2}x\,dx = 2\int \csc^{2}x\,dx = 2(-\cot x) = -2\cot x,
\int -3\operatorname{sec}^{2}x\,dx = -3\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx = -3\tan x,
\int 1\,dx = x.
Somando tudo e incluindo a constante de integração C, obtemos uma primitiva:
x - 2\cot x - 3\tan x + C.

Passo 6

Podemos checar rapidamente derivando para confirmar:
\frac{d}{dx}\bigl(x-2\cot x-3\tan x\bigr)=1-2(-\csc^{2}x)-3\operatorname{sec}^{2}x =1+2\csc^{2}x-3\operatorname{sec}^{2}x,
que coincide com o integrando que obtivemos em

Resposta

x-2\cot x-3\tan x + C

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