Questão 1: Resolva as integrais das funções elementares a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função dada. \n
A integral a resolver é . \n
Informações relevantes que temos no enunciado: a integranda é a soma de duas parcelas, e
, com constantes multiplicativas
e
.
A integral a resolver é
Informações relevantes que temos no enunciado: a integranda é a soma de duas parcelas,
Passo 2
Primeiro conceito útil: linearidade da integral. Isso diz que, para constantes
e funções
,
Isso nos permite separar a integral dada em duas integrais mais simples:
Passo 3
Agora vamos reconhecer as primitivas (antiderivadas) das funções trigonométricas envolvidas, começando por
. \n
Lembre que . Para encontrar uma primitiva por reconhecimento, é útil saber a derivada de
. Calculemos rapidamente:
Lembre que
Reescrevendo em termos de funções trigonométricas conhecidas:
Portanto a derivada de
é
, o que implica que
(Explicação prática: como a derivada de
já aparece como
, a primitiva de
é
.)
Passo 4
Agora ache a primitiva de
. \n
Use que . Derivando,
Use que
Logo,
(Resumo: a derivada de
é
, então a primitiva de
é
.)
Passo 5
Agora volte à integral original e substitua as primitivas encontradas, lembrando das constantes multiplicativas:
Simplificando,
Passo 6
Verificação rápida (sempre bom para a prova): derive o resultado para confirmar que voltamos à integranda. \n
Derivando obtemos
Derivando
que é exatamente a integranda. Pronto — está consistente.