Questão 1: Resolva as integrais das funções elementares a seguir.
\int\left(4 \csc x \cot x+2 \operatorname{sec} ^{2} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função dada. \n
A integral a resolver é \displaystyle \int\left(4 \csc x \cot x+2 \operatorname{sec}^{2} x\right)\,dx. \n
Informações relevantes que temos no enunciado: a integranda é a soma de duas parcelas, 4 \csc x \cot x e 2 \operatorname{sec}^{2} x, com constantes multiplicativas 4 e 2.

Passo 2

Primeiro conceito útil: linearidade da integral. Isso diz que, para constantes a,b e funções f,g,
\int\big(a f(x)+b g(x)\big)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Isso nos permite separar a integral dada em duas integrais mais simples:
\int\left(4 \csc x \cot x+2 \operatorname{sec}^{2} x\right)\,dx = 4\int \csc x \cot x\,dx + 2\int \operatorname{sec}^{2} x\,dx.

Passo 3

Agora vamos reconhecer as primitivas (antiderivadas) das funções trigonométricas envolvidas, começando por \csc x\cot x. \n
Lembre que \csc x = \dfrac{1}{\sin x}. Para encontrar uma primitiva por reconhecimento, é útil saber a derivada de \csc x. Calculemos rapidamente:
\frac{d}{dx}\big(\csc x\big) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sin x}\right) = -\frac{\cos x}{\sin^{2}x}.
Reescrevendo em termos de funções trigonométricas conhecidas:
-\frac{\cos x}{\sin^{2}x} = -\csc x\cot x.
Portanto a derivada de \csc x é -\csc x\cot x, o que implica que
\int \csc x \cot x\,dx = -\csc x + C.
(Explicação prática: como a derivada de \csc x já aparece como -\csc x\cot x, a primitiva de \csc x\cot x é -\csc x.)

Passo 4

Agora ache a primitiva de \operatorname{sec}^{2} x. \n
Use que \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}. Derivando,
\frac{d}{dx}\big(\tan x\big) = \operatorname{sec}^{2} x.
Logo,
\int \operatorname{sec}^{2} x\,dx = \tan x + C.
(Resumo: a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2} x, então a primitiva de \operatorname{sec}^{2} x é \tan x.)

Passo 5

Agora volte à integral original e substitua as primitivas encontradas, lembrando das constantes multiplicativas:
4\int \csc x \cot x\,dx + 2\int \operatorname{sec}^{2} x\,dx = 4\big(-\csc x\big) + 2\big(\tan x\big) + C.
Simplificando,
-4\csc x + 2\tan x + C.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom para a prova): derive o resultado para confirmar que voltamos à integranda. \n
Derivando -4\csc x + 2\tan x obtemos
-4\big(-\csc x\cot x\big) + 2\operatorname{sec}^{2} x = 4\csc x\cot x + 2\operatorname{sec}^{2} x,
que é exatamente a integranda. Pronto — está consistente.

Resposta

-4\csc x + 2\tan x + C

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