Questão 1: Resolva as integrais das funções elementares a seguir.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral
Informações dadas que usaremos: há duas parcelas na integranda —
e
. Não há mais condições (por ex. intervalo), então buscamos a primitiva geral (com constante de integração).
Passo 2
Vamos usar duas propriedades básicas de integrais que você precisa sempre lembrar:
e
onde
é constante. Isso permite separar a integral em duas e puxar os fatores
e
para fora das integrais:
Passo 3
Agora precisamos das primitivas (antiderivadas) básicas destas funções:
- saberemos que
; - e que
.
Vou justificar por que estas igualdades são verdadeiras calculando as derivadas correspondentes (assim você aprende a identificar antiderivadas na prova).
Passo 4
Derivada de
. Lembre que
. Usando a regra do quociente, se
então
Aplique com
e
:
Como
, segue
Logo, a derivada de
é
, o que implica
Passo 5
Derivada de
. Lembre que
. Usando a regra do quociente (ou regra da cadeia) com
e
:
Escrevendo
, obtemos
Portanto
Passo 6
Agora aplicamos os resultados no Passo 2. Temos
onde juntei as constantes de integração em uma única constante
. Simplificando:
Passo 7
Resumo prático para a prova: ao ver
pense imediatamente em
como primitiva; ao ver
pense em
. Use linearidade para separar fatores constantes. Isso salva tempo e evita contas desnecessárias.