Questão 1: Resolva as integrais das funções elementares a seguir.
\int\left(3 \csc ^{2} x-5 \operatorname{sec} x \tan x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral
\int\left(3 \csc^{2} x - 5 \operatorname{sec} x \tan x\right)\,dx.
Informações dadas que usaremos: há duas parcelas na integranda — 3 \csc^{2} x e -5 \operatorname{sec} x \tan x. Não há mais condições (por ex. intervalo), então buscamos a primitiva geral (com constante de integração).

Passo 2

Vamos usar duas propriedades básicas de integrais que você precisa sempre lembrar:
\int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx
e
\int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx,
onde a é constante. Isso permite separar a integral em duas e puxar os fatores 3 e -5 para fora das integrais:
\int\left(3 \csc^{2} x - 5 \operatorname{sec} x \tan x\right)\,dx = 3\int \csc^{2} x\,dx - 5\int \operatorname{sec} x \tan x\,dx.

Passo 3

Agora precisamos das primitivas (antiderivadas) básicas destas funções:
  • saberemos que \int \csc^{2} x\,dx = -\cot x + C;
  • e que \int \operatorname{sec} x \tan x\,dx = \operatorname{sec} x + C.
Vou justificar por que estas igualdades são verdadeiras calculando as derivadas correspondentes (assim você aprende a identificar antiderivadas na prova).

Passo 4

Derivada de \cot x. Lembre que \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}. Usando a regra do quociente, se h(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
h'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}.
Aplique com u(x)=\cos x e v(x)=\sin x:
\frac{d}{dx}\cot x = \frac{(-\sin x)\sin x - \cos x(\cos x)}{\sin^{2} x} = \frac{-\sin^{2}x - \cos^{2}x}{\sin^{2}x}.
Como \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, segue
\frac{d}{dx}\cot x = -\frac{1}{\sin^{2}x} = -\csc^{2}x.
Logo, a derivada de \cot x é -\csc^{2}x, o que implica
\int \csc^{2} x\,dx = -\cot x + C.

Passo 5

Derivada de \operatorname{sec} x. Lembre que \operatorname{sec} x = \dfrac{1}{\cos x}. Usando a regra do quociente (ou regra da cadeia) com u(x)=1 e v(x)=\cos x:
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x = \frac{0\cdot\cos x - 1\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x} = \frac{\sin x}{\cos^{2}x}.
Escrevendo \dfrac{\sin x}{\cos^{2}x} = \dfrac{1}{\cos x}\cdot\dfrac{\sin x}{\cos x} = \operatorname{sec} x \tan x, obtemos
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x = \operatorname{sec} x \tan x.
Portanto
\int \operatorname{sec} x \tan x\,dx = \operatorname{sec} x + C.

Passo 6

Agora aplicamos os resultados no Passo 2. Temos
3\int \csc^{2} x\,dx - 5\int \operatorname{sec} x \tan x\,dx = 3\big(-\cot x\big) - 5\big(\operatorname{sec} x\big) + C,
onde juntei as constantes de integração em uma única constante C. Simplificando:
-3\cot x - 5\operatorname{sec} x + C.

Passo 7

Resumo prático para a prova: ao ver \csc^{2}x pense imediatamente em -\cot x como primitiva; ao ver \operatorname{sec} x\tan x pense em \operatorname{sec} x. Use linearidade para separar fatores constantes. Isso salva tempo e evita contas desnecessárias.

Resposta

-3\cot x - 5\operatorname{sec} x + C

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