Questão 1: Resolva as integrais das funções elementares a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função dada, isto é encontrar uma primitiva
tal que
seja a função dentro da integral. A integral que precisamos resolver é
Informações relevantes fornecidas: os termos da integranda são
,
e
.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a integranda usando potências de
com expoentes negativos, porque isso facilita aplicar a regra básica de integração. Lembre-se que
. Então
Assim a integral fica
Passo 3
Vou usar duas propriedades muito úteis:
- Linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair:
- Regra da potência para integração: para todo
,
onde
é a constante de integração. Aqui
é a variável de integração e
é o expoente.
Passo 4
Aplicando a linearidade, separamos a integral em três integrais:
Passo 5
Agora integramos cada termo usando a regra da potência e a propriedade de fator constante.
Termo 1:
.
- O fator constante
sai da integral: . - Aplicando a regra da potência com
: . - Multiplicando pelo
: - Reescrevendo em forma de fração:
Termo 2:
.
- O fator constante
sai: . - Com
: - Multiplicando pelo
: - Em fração:
Termo 3:
.
-
é constante, a primitiva é (pois a derivada de é ). - Logo
Passo 6
Somando as primitivas dos três termos e acrescentando a constante de integração
, obtemos a primitiva geral:
Passo 7
Breve verificação (pra te deixar mais confiante): derivando o resultado devemos voltar à integranda.
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Somando:, que é exatamente a integranda. Tudo conferido!