Questão 1: Resolva as integrais das funções elementares a seguir.
\int\left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int\left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A integranda é a soma de duas funções elementares: a raiz cúbica de x e o inverso da raiz cúbica de x.
  • Não foi dada restrição explícita sobre o domínio; como a raiz cúbica está bem definida para todos os reais, podemos trabalhar em x\neq0 se tivermos potências negativas intermediárias.
    Agora vamos transformar e integrar passo a passo.

Passo 2

Transformar radicais em potências para ficar mais confortável com a regra de integração. Lembre que
\sqrt[3]{x} = x^{1/3}
e
\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-1/3}.
Portanto a integral fica
\int\left(x^{1/3}+x^{-1/3}\right)\,dx.

Passo 3

Lembrar a regra básica (regra da potência) para integrais: se n\neq -1, então
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Aqui n é qualquer número real diferente de -1. Explicando: a fórmula vem de inverter a operação de diferenciação da função potência x^{n+1} (pois \frac{d}{dx}x^{n+1}=(n+1)x^{n}), por isso dividimos por n+1.

Passo 4

Aplicar a regra da potência ao primeiro termo x^{1/3}. Aqui n=\tfrac{1}{3}, então
n+1=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}
e
\int x^{1/3}\,dx = \frac{x^{4/3}}{4/3}+C_1 = \frac{3}{4}x^{4/3}+C_1.
Expliquei cada passo: somei os expoentes e inverti a fração para dividir por 4/3.

Passo 5

Aplicar a regra ao segundo termo x^{-1/3}. Aqui n=-\tfrac{1}{3}, então
n+1=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}
e
\int x^{-1/3}\,dx = \frac{x^{2/3}}{2/3}+C_2 = \frac{3}{2}x^{2/3}+C_2.

Passo 6

Somar as duas integrais (podemos juntar as constantes em uma só C). Assim a primitiva da integranda é
\frac{3}{4}x^{4/3}+\frac{3}{2}x^{2/3}+C.
Verificação rápida por diferenciação (para ficar seguro): derivando
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{4}x^{4/3}\right)=\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}x^{1/3}=x^{1/3},
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{2}x^{2/3}\right)=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}x^{-1/3}=x^{-1/3},
portanto a derivada da soma é x^{1/3}+x^{-1/3}, que é exatamente a integranda. Tudo confere.

Resposta

\frac{3}{4}x^{4/3}+\frac{3}{2}x^{2/3}+C

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