Questão 1: Resolva as integrais das funções elementares a seguir.
\int\left(x^{3 / 2}-x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função dada:
\displaystyle \int\bigl(x^{3/2}-x\bigr)\,dx.
Informações relevantes: a integranda é a diferença de duas potências de x, sendo os expoentes \tfrac{3}{2} e 1. A resposta deve ser uma primitiva (ou seja, uma família de funções) acrescida de uma constante de integração C.

Passo 2

Regra que vamos usar: a integral é linear, ou seja
\displaystyle \int\bigl(f(x)+g(x)\bigr)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx
e
\displaystyle \int k\cdot f(x)\,dx=k\int f(x)\,dx
para constante k. Aqui aplicamos a linearidade para separar a integral em duas integrais mais simples.

Passo 3

Regra principal para potências (regra do expoente/potência): para qualquer n\neq -1,
\displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Explicação: aumentamos o expoente em 1 e dividimos pelo novo expoente. O caso n=-1 é especial porque daria divisão por zero; nesse caso a primitiva é \ln|x|.

Passo 4

Separe a integral aplicando a linearidade:
\displaystyle \int\bigl(x^{3/2}-x\bigr)\,dx=\int x^{3/2}\,dx-\int x\,dx.

Passo 5

Aplique a regra do expoente ao primeiro termo com n=\tfrac{3}{2}.
Calcule n+1=\tfrac{3}{2}+1=\tfrac{5}{2}.
Então
\displaystyle \int x^{3/2}\,dx=\frac{x^{5/2}}{5/2}+C_1=\frac{2}{5}\,x^{5/2}+C_1.
Observação: x^{5/2}=(\sqrt{x})^{5}=x^{2}\sqrt{x}, útil se quiseres reescrever em termos de raiz.

Passo 6

Aplique a regra ao segundo termo com n=1.
Calcule n+1=1+1=2.
Então
\displaystyle \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C_2.

Passo 7

Junte os resultados (subtraindo o segundo do primeiro) e una as constantes C_1 e C_2 numa única constante C:
\displaystyle \int\bigl(x^{3/2}-x\bigr)\,dx=\frac{2}{5}\,x^{5/2}-\frac{1}{2}\,x^{2}+C.

Passo 8

Verificação rápida: derive a primitiva encontrada para checar se volta à integranda.
Derivando \frac{2}{5}x^{5/2} obtemos \frac{2}{5}\cdot\frac{5}{2}x^{3/2}=x^{3/2}.
Derivando -\frac{1}{2}x^{2} obtemos -x.
Somando dá x^{3/2}-x, que é a integranda original — perfeito!

Resposta

\displaystyle \frac{2}{5}\,x^{5/2}-\frac{1}{2}\,x^{2}+C

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