Questão 4: Resolva as integrais por meio do Método das Frações Parciais.
\int \frac{5-x}{2 x^{2}+x-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integração indefinida)
\int \frac{5-x}{2 x^{2}+x-1}\,dx.
Informações dadas e o que devemos obter:
  • A função integranda é a razão de dois polinômios: numerador 5-x e denominador 2x^{2}+x-1.
  • O pedido é encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada é a integranda) usando o Método das Frações Parciais.
  • Não há valores numéricos a determinar além da constante de integração C.

Passo 2

Verificar se a função racional é própria (condição para aplicar frações parciais diretamente):
\deg(\text{numerador}) = 1,\qquad \deg(\text{denominador}) = 2.
Como 1<2, a função é própria. Explicação didática: para decompor em frações parciais queremos que o grau do numerador seja menor que o do denominador; caso contrário faríamos divisão polinomial primeiro. Aqui não é preciso.

Passo 3

Fatorar o denominador para escolher a forma das frações parciais.
Calculemos as raízes de 2x^{2}+x-1. O discriminante é
\Delta = 1^{2}-4\cdot 2\cdot(-1)=1+8=9.
As raízes são
x=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{-1\pm 3}{4},
ou seja x=\tfrac{1}{2} e x=-1. Assim podemos fatorar
2x^{2}+x-1=(2x-1)(x+1).
Comentário didático: quando o denominador tem fatores lineares distintos, a decomposição será uma soma de constantes sobre esses fatores lineares.

Passo 4

Montar a decomposição em frações parciais. Procuramos constantes A e B tais que
\frac{5-x}{(2x-1)(x+1)}=\frac{A}{2x-1}+\frac{B}{x+1}.
Explicação: cada fator linear distinto (2x-1) e (x+1) corresponde a um termo do tipo constante sobre o fator.

Passo 5

Determinar A\) e \(B\). Multiplicando ambos os lados por \((2x-1)(x+1)\) obtemos \[5-x = A(x+1)+B(2x-1).
Expandindo:
5-x = (A+2B)x + (A - B).
Igualando coeficientes dos termos em x e dos termos constantes:
\begin{cases} A+2B = -1,\\[4pt] A-B = 5. \end{cases}
Resolvendo: subtraindo a segunda equação da primeira vem 3B=-6\], então \[B=-2.\] Substituindo em \(A-B=5
A=5+B=5-2=3.]

Passo 6

Reescrevendo a integranda com os valores encontrados:
\frac{5-x}{2x^{2}+x-1}=\frac{3}{2x-1}-\frac{2}{x+1}.
Explicação didática: a linearidade da integral permite separar a integral da soma em soma (ou diferença) de integrais.

Passo 7

Integrar cada termo separadamente.
  1. Para \displaystyle \int \frac{3}{2x-1}\,dx, faça a substituição u=2x-1. Então du=2\,dx, ou dx=\tfrac{1}{2}du. Assim
\int \frac{3}{2x-1}\,dx = 3\int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{3}{2}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{3}{2}\ln|u| = \frac{3}{2}\ln|2x-1|.
  1. Para \displaystyle \int \frac{2}{x+1}\,dx, é direto: a primitiva de \tfrac{1}{x+1} é \ln|x+1|, então
\int \frac{2}{x+1}\,dx = 2\ln|x+1|.
Observação didática: o fator constante pode ser tirado da integral; e a primitiva de \tfrac{1}{x-a} é \ln|x-a|.

Passo 8

Juntando as primitivas parciais (lembre-se de preservar os sinais obtidos na decomposição) e acrescentando a constante de integração C. Neste passo eu expliquei como cada termo foi integrado separadamente; a combinação final fica na seção de resposta.

Resposta

\frac{3}{2}\ln|2x-1|-2\ln|x+1|+C

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