Questão 3. Resolva os sistemas abaixo.
\mathbf{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}-1 & 3 \\\\ -3 & 5\end{array}\right) \mathbf{X}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear de primeira ordem \mathbf{X}'=A\,\mathbf{X} com
A=\begin{pmatrix}-1 & 3 \\[4pt] -3 & 5\end{pmatrix}.
O conteúdo principal é resolução de sistemas lineares por autovalores e autovetores, incluindo o caso de autovalor repetido (bloco de Jordan). Vamos seguir estes passos: encontrar o polinômio característico, os autovalores, autovetores, e montar a solução geral.]

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}-1-\lambda & 3 \\[4pt] -3 & 5-\lambda\end{pmatrix} = (-1-\lambda)(5-\lambda) - (3)(-3) = \lambda^2 - 4\lambda + 4.
Portanto, a equação \lambda^2 - 4\lambda +4=0 tem raiz única
\lambda = 2 \quad(\text{multiplicidade }2).]

Passo 3

Determinar o autovetor associado a \lambda=2 resolvendo
(A - 2I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}-3 & 3 \\[4pt] -3 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1 \\[2pt] v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\[2pt] 0\end{pmatrix}.
Isto dá a condição -3v_1+3v_2=0, ou seja v_1=v_2. Um autovetor conveniente é
v = \begin{pmatrix}1 \\[2pt] 1\end{pmatrix}.
Como só aparece um autovetor, A não é diagonalizável e entramos no caso de bloco de Jordan.]

Passo 4

Para autovalor repetido com um único autovetor, a solução geral é dada por
\mathbf{X}(t) = e^{2t}\bigl(I + (A-2I)\,t\bigr)\,C,
onde C=(C_1,C_2)^T é vetor de constantes. Note que
A-2I = \begin{pmatrix}-3 & 3 \\[4pt] -3 & 3\end{pmatrix},
logo
I + (A-2I)\,t = \begin{pmatrix}1-3t & 3t \\[4pt] -3t & 1+3t\end{pmatrix}.]

Passo 5

Multiplicando e reunindo as constantes C_1,C_2, obtemos
\mathbf{X}(t) = e^{2t} \begin{pmatrix} (1-3t)\,C_1 + 3t\,C_2 \\[6pt] -3t\,C_1 + (1+3t)\,C_2 \end{pmatrix}.
Se escrevemos \mathbf{X}(t)=(x(t),y(t))^T, então
x(t)=e^{2t}\bigl((1-3t)C_1 + 3t\,C_2\bigr), \quad y(t)=e^{2t}\bigl(-3t\,C_1 + (1+3t)C_2\bigr),
com C_1 e C_2 constantes arbitrárias.]

Resposta

A solução geral do sistema é
\mathbf{X}(t) = e^{2t} \begin{pmatrix} (1-3t)\,C_1 + 3t\,C_2 \\[6pt] -3t\,C_1 + (1+3t)\,C_2 \end{pmatrix},
onde C_1 e C_2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.]

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