Questão 3. Resolva os sistemas abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear de primeira ordem
com
O conteúdo principal é resolução de sistemas lineares por autovalores e autovetores, incluindo o caso de autovalor repetido (bloco de Jordan). Vamos seguir estes passos: encontrar o polinômio característico, os autovalores, autovetores, e montar a solução geral.]
Passo 2
Calcular o polinômio característico de
:
Portanto, a equação
tem raiz única
Passo 3
Determinar o autovetor associado a
resolvendo
Isto dá a condição
, ou seja
. Um autovetor conveniente é
Como só aparece um autovetor,
não é diagonalizável e entramos no caso de bloco de Jordan.]
Passo 4
Para autovalor repetido com um único autovetor, a solução geral é dada por
onde
é vetor de constantes. Note que
logo
Passo 5
Multiplicando e reunindo as constantes
, obtemos
Se escrevemos
, então
com
e
constantes arbitrárias.]
Resposta
A solução geral do sistema é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.]