Questão 2. Resolva usando a transformada de LAPLACE.
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado).\n
Temos a equação diferencial com função degrau deslocada:
Temos a equação diferencial com função degrau deslocada:
com condições iniciais
Aqui
é o degrau unitário deslocado em
; ou seja,
, que vale
para
e
para
.\n
O que o enunciado pede: encontrar para todo
usando a transformada de Laplace.
O que o enunciado pede: encontrar
Passo 2
Conceitos e fórmulas de Laplace que vamos usar (pequena aula prática).\n
- Definição: se
for função apropriada, escrevemos . Aqui é a variável complexa da transformada.\n - Transformadas de derivadas (fórmulas-chave; explico cada termo):
Nessas fórmulas
é a transformada de
,
e
são as condições iniciais que aparecem “automaticamente” ao transformar derivadas.\n
- Transformada do degrau deslocado e teorema de deslocamento no domínio de tempo:
e, mais geral, onde . Essa última é a fórmula que nos permite obter o efeito do deslocamento no tempo: multiplicar por no -domínio corresponde a deslocar a função no tempo e multiplicá‑la pelo degrau.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace na equação e montar a equação algébrica em
.\n
Tomando em ambos os membros de
obtemos
Tomando
Usando as fórmulas de derivada e escrevendo
, com
e
, temos
Substituindo
e
,
Agrupando
,
Isolando
,
Aqui separei em duas parcelas para inverter facilmente: a primeira não tem o fator exponencial, a segunda sim.
Passo 4
Inverter a primeira parcela (a parte sem deslocamento).\n
A primeira parcela é
A primeira parcela é
Sabemos pela tabela básica de Laplace que
Portanto a contribuição dessa parcela ao
é
.
Passo 5
Tratar a segunda parcela: encontrar a transformada inversa de
(antes de aplicar o deslocamento).\n
Precisamos achar com
Precisamos achar
Fazemos frações parciais: suponha
Multiplicando ambos os lados por
,
Comparando coeficientes dos polinômios em
:
- coeficiente de
: ⇒ , - coeficiente de
: , - termo independente:
.
Logo
,
,
. Assim
Invertendo cada termo:
Portanto
Passo 6
Aplicar o teorema do deslocamento para obter a transformada inversa da segunda parcela completa.\n
Temos a segunda parcela em como
Temos a segunda parcela em
Pelo teorema de deslocamento,
Como
, obtemos
Portanto juntando com a contribuição da primeira parcela,
Passo 7
Simplificação final e verificação rápida (para entender o comportamento da solução).\n
Usando a identidade e sabendo que
e
, temos
. Então
Usando a identidade
Assim uma forma mais compacta é
Interpretação: para
temos
e
(solução do homogêneo com as condições iniciais); para
temos
, que satisfaz
como deve ocorrer quando o degrau está ligado. As condições iniciais em
também conferem:
e
.