(Questão 9 - Seção 5.4 - Magalhães) Considere que X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} são variáveis aleatórias discretas e independentes. Usando função geradora de momentos, determine a distribuição da soma X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}, nos seguintes casos:
X_{j} \sim \operatorname{Bin}\left(n_{j}, p\right), j=1,2, \ldots, n.

Passo 1

O enunciado dá que X_{1},X_{2},\ldots,X_{n} são variáveis aleatórias discretas independentes e que, para cada j=1,2,\ldots,n,
X_{j}\sim \operatorname{Bin}\bigl(n_{j},p\bigr).
A pergunta é: usando função geradora de momentos, determinar a distribuição da soma
S = X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}.
Lista das informações relevantes fornecidas:
\text{Para cada } j:\quad X_{j}\sim \operatorname{Bin}\bigl(n_{j},p\bigr).
\text{As } X_j \text{ são independentes.}ã
\text{Queremos a distribuição de } S=\sum_{j=1}^n X_j.çã

Passo 2

O que é a função geradora de momentos (MGF) e por que usar aqui. Definimos a MGF de uma variável aleatória Y como
M_{Y}(t)=\mathbb{E}\bigl(e^{tY}\bigr),
onde t é uma variável real. Algumas propriedades importantes que vamos usar:
  1. Se Y e Z são independentes, então a MGF da soma é o produto das MGFs:
M_{Y+Z}(t)=M_{Y}(t)\cdot M_{Z}(t).
  1. A MGF (quando existe em um intervalo em torno de 0) determina unicamente a distribuição de Y. Então, se achamos que M_{S}(t) coincide com a MGF conhecida de uma distribuição, podemos concluir que S tem essa distribuição.
Vou usar essas duas propriedades para identificar a distribuição de S.

Passo 3

Vamos calcular a MGF de uma variável Bernoulli e entender por que é útil. Seja B\sim \operatorname{Bernoulli}(p), ou seja B\in\{0,1\} com \mathbb{P}(B=1)=p e \mathbb{P}(B=0)=1-p. A MGF de B é
M_{B}(t)=\mathbb{E}\bigl(e^{tB}\bigr)=e^{t\cdot 0}\,(1-p)+e^{t\cdot 1}\,p=(1-p)+p\,e^{t}.
Explicando: usamos a definição \mathbb{E}(g(B))=\sum_{x} g(x)\mathbb{P}(B=x) e somamos sobre os dois valores possíveis de B.

Passo 4

Agora relaciono a distribuição binomial com Bernoullis. Cada X_{j}\sim \operatorname{Bin}(n_{j},p) pode ser vista como soma de n_{j} Bernoullis independentes com parâmetro p:
X_{j} = \sum_{k=1}^{n_{j}} B_{jk},
onde os B_{jk} são iid \operatorname{Bernoulli}(p). Pela propriedade da MGF para soma de variáveis independentes, a MGF de X_{j} é o produto das MGFs dos B_{jk}. Como cada B_{jk} tem MGF (1-p)+p e^{t}, temos
M_{X_{j}}(t)=\bigl((1-p)+p\,e^{t}\bigr)^{n_{j}}.
Explicando passo a passo: a MGF de uma soma de n_j independentes é o produto das suas MGFs, cada uma igual a (1-p)+p e^{t}, e o produto de n_j fatores iguais é a potência.

Passo 5

Agora calculo a MGF da soma total S=\sum_{j=1}^{n} X_{j}. Usando independência entre os X_j (dada no enunciado) e a propriedade do produto das MGFs:
M_{S}(t)=\prod_{j=1}^{n} M_{X_{j}}(t) =\prod_{j=1}^{n}\bigl((1-p)+p\,e^{t}\bigr)^{n_{j}} =\bigl((1-p)+p\,e^{t}\bigr)^{\sum_{j=1}^{n} n_{j}}.
Reescrevendo, se definirmos N=\sum_{j=1}^{n} n_{j}, então
M_{S}(t)=\bigl((1-p)+p\,e^{t}\bigr)^{N}.

Passo 6

Identificação final: a função geradora de momentos que obtivemos
M_{S}(t)=\bigl((1-p)+p\,e^{t}\bigr)^{N}
é exatamente a MGF de uma variável com distribuição binomial \operatorname{Bin}(N,p), pois já vimos (no Passo 4) que \operatorname{Bin}(m,p) tem MGF \bigl((1-p)+p\,e^{t}\bigr)^{m}. Pela unicidade da MGF, concluímos que
S=X_{1}+\cdots+X_{n}\sim \operatorname{Bin}\bigl(N,p\bigr),
onde lembramos que N=\sum_{j=1}^{n} n_{j}.
Intuição curta: somar binomiais independentes com o mesmo p é o mesmo que juntar todos os ensaios (trials) e obter um binomial com o número de ensaios igual à soma dos n_j.

Passo 7

Pequeno exemplo numérico para fixar: se X_1\sim\operatorname{Bin}(3,p) e X_2\sim\operatorname{Bin}(4,p) independentes, então S=X_1+X_2 tem MGF ((1-p)+p e^{t})^{3}\cdot((1-p)+p e^{t})^{4}=((1-p)+p e^{t})^{7}, logo S\sim\operatorname{Bin}(7,p). Isso é consistente com a ideia de juntar os 3+4=7 ensaios independentes com probabilidade p de sucesso.

Resposta

X_{1}+\cdots+X_{n}\sim \operatorname{Bin}\!\Bigl(\sum_{j=1}^{n}n_{j},\,p\Bigr)