(Questão 9 - Seção 5.4 - Magalhães) Considere que
são variáveis aleatórias discretas e independentes. Usando função geradora de momentos, determine a distribuição da soma
, nos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado dá que
são variáveis aleatórias discretas independentes e que, para cada
,
A pergunta é: usando função geradora de momentos, determinar a distribuição da soma
Lista das informações relevantes fornecidas:
Passo 2
O que é a função geradora de momentos (MGF) e por que usar aqui. Definimos a MGF de uma variável aleatória
como
onde
é uma variável real. Algumas propriedades importantes que vamos usar:
- Se
e são independentes, então a MGF da soma é o produto das MGFs:
- A MGF (quando existe em um intervalo em torno de
) determina unicamente a distribuição de . Então, se achamos que coincide com a MGF conhecida de uma distribuição, podemos concluir que tem essa distribuição.
Vou usar essas duas propriedades para identificar a distribuição de
.
Passo 3
Vamos calcular a MGF de uma variável Bernoulli e entender por que é útil. Seja
, ou seja
com
e
. A MGF de
é
Explicando: usamos a definição
e somamos sobre os dois valores possíveis de
.
Passo 4
Agora relaciono a distribuição binomial com Bernoullis. Cada
pode ser vista como soma de
Bernoullis independentes com parâmetro
:
onde os
são iid
. Pela propriedade da MGF para soma de variáveis independentes, a MGF de
é o produto das MGFs dos
. Como cada
tem MGF
, temos
Explicando passo a passo: a MGF de uma soma de
independentes é o produto das suas MGFs, cada uma igual a
, e o produto de
fatores iguais é a potência.
Passo 5
Agora calculo a MGF da soma total
. Usando independência entre os
(dada no enunciado) e a propriedade do produto das MGFs:
Reescrevendo, se definirmos
, então
Passo 6
Identificação final: a função geradora de momentos que obtivemos
é exatamente a MGF de uma variável com distribuição binomial
, pois já vimos (no Passo 4) que
tem MGF
. Pela unicidade da MGF, concluímos que
onde lembramos que
.
Intuição curta: somar binomiais independentes com o mesmo
é o mesmo que juntar todos os ensaios (trials) e obter um binomial com o número de ensaios igual à soma dos
.
Passo 7
Pequeno exemplo numérico para fixar: se
e
independentes, então
tem MGF
, logo
. Isso é consistente com a ideia de juntar os
ensaios independentes com probabilidade
de sucesso.