Questão 9 Seja X um conjunto qualquer, não vazio. Exiba uma bijeção entre \mathcal{P}(X) e \mathcal{F}(X ;\{0,1\}).

Passo 1

O enunciado dá um conjunto não vazio X e pede para exibir uma bijeção entre \mathcal{P}(X) e \mathcal{F}(X;\{0,1\}).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • \mathcal{P}(X)=\{A \mid A\subseteq X\} é o conjunto de todas as partes (subconjuntos) de X.
  • \mathcal{F}(X;\{0,1\})=\{f \mid f:X\to\{0,1\}\} é o conjunto de todas as funções de X no conjunto \{0,1\}.
  • A tarefa é apresentar uma bijeção entre esses dois conjuntos, ou seja, construir uma aplicação que seja injetora e sobrejetora simultaneamente.

Passo 2

Vou definir uma aplicação natural que costuma aparecer nessas situações: para cada subconjunto [A\subseteq X) associe-se a sua função indicadora (ou característica). Definição explícita:
\Phi:\mathcal{P}(X)\to\mathcal{F}(X;\{0,1\}),\qquad \Phi(A)=\chi_A,
onde, para cada x\in X,
\chi_A(x)= \begin{cases} 1,&\text{se }x\in A,\\[4pt] 0,&\text{se }x\notin A. \end{cases}
Explicação intuitiva: a função \chi_A\] codifica, ponto a ponto, a informação de pertencer ou não a \(A — 1 significa "está em A" e 0 significa "não está em A".]

Passo 3

Verificar que \Phi está bem definida. Para cada A\subseteq X a regra acima dá realmente uma função \chi_A:X\to\{0,1\}, porque para todo x\in X a quantidade \chi_A(x) é definida e equal a 0 ou 1. Assim \Phi leva elementos de \mathcal{P}(X) em elementos de \mathcal{F}(X;\{0,1\}).

Passo 4

Provar que \Phi é injetora. Seja A,B\subseteq X tais que \Phi(A)=\Phi(B). Então \chi_A=\chi_B como funções. Para provar A=B mostre duas inclusões:
  • Se x\in A então \chi_A(x)=1. Como \chi_A=\chi_B segue \chi_B(x)=1, logo x\in B. Assim A\subseteq B.
  • Pelo mesmo argumento trocando A por B obtemos B\subseteq A.
Portanto A=B. Concluímos que \Phi é injetora.

Passo 5

Provar que [\Phi) é sobrejetora. Tome uma função arbitrária f\in\mathcal{F}(X;\{0,1\}). Defina o subconjunto de X
A_f=\{x\in X \mid f(x)=1\}.
Então A_f\subseteq X, portanto A_f\in\mathcal{P}(X). Vamos ver que \Phi(A_f)=f. Para cada x\in X temos
\chi_{A_f}(x)= \begin{cases} 1,&\text{se }x\in A_f\\ (\text{i.e. }f(x)=1),\\[4pt] 0,&\text{se }x\notin A_f\\ (\text{i.e. }f(x)=0). \end{cases}
Logo \chi_{A_f}(x)=f(x)\] para todo \(x, ou seja \chi_{A_f}=f. Assim f está na imagem de \Phi. Como f foi arbitrária, \Phi é sobrejetora.]

Passo 6

Conclusão de bijetividade e existência de inversa explícita. Como \Phi é injetora e sobrejetora, é bijetora. A inversa \Phi^{-1}:\mathcal{F}(X;\{0,1\})\to\mathcal{P}(X) é exatamente a função que a cada f associa A_f=\{x\in X\mid f(x)=1\}. Verificações rápidas das composições identidades:
  • Para A\subseteq X tem-se \Phi^{-1}(\Phi(A))=\Phi^{-1}(\chi_A)=\{x\mid \chi_A(x)=1\}=A.
  • Para f\in\mathcal{F}(X;\{0,1\}) tem-se \Phi(\Phi^{-1}(f))=\Phi(A_f)=\chi_{A_f}=f.
Portanto \Phi é bijeção com inversa \Phi^{-1} dada acima.

Passo 7

Um pequeno exemplo concreto para fixar a ideia (opcional, mas útil): se X=\{a,b\} então os subconjuntos são \varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}. Suas funções indicadoras são respectivamente as funções que valem (0,0),(1,0),(0,1),(1,1) em (a,b). Dá para ver claramente a correspondência um a um.

Resposta

\Phi:\mathcal{P}(X)\to\mathcal{F}(X;\{0,1\}),\qquad \Phi(A)=\chi_A,\\ \text{onde}\\ \chi_A(x)=1\text{ se }x\in A,\\ \chi_A(x)=0\text{ se }x\notin A.
Inversa: \Phi^{-1}(f)=\{x\in X\mid f(x)=1\}.