Questão 1. Seja A um domínio Euclidiano com norma N. Mostre que se N(a) é constante para todo a \in A \backslash\{0\}, então A é um corpo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Informação 1: A é um domínio euclidiano com norma N.
  • Informação 2: Existe um valor constante c tal que N(a)=c para todo a\in A\setminus\{0\}.
  • Pergunta: Mostrar que A é um corpo (ou seja, que todo elemento não nulo de A tem inverso multiplicativo).

Passo 2

Relembrando (com calma) o que significa ser domínio euclidiano e o que vamos usar.
  • Definição operacional que usaremos: em um domínio euclidiano, para quaisquer a,b\in A com b\neq0 existem elementos q,r\in A tais que
a = bq + r
e ou r=0 ou N(r) < N(b).
Isto é a versão do “algoritmo da divisão” que caracteriza domínios euclidianos.
  • Definição de unidade: um elemento u\in A é unidade se existe v\in A com uv=1. Um anel é corpo quando todo elemento não nulo é unidade.
Estratégia (comentário didático): para provar que A é corpo basta mostrar que todo b\in A\setminus\{0\} tem inverso. Uma maneira natural é aplicar a propriedade da divisão escolhendo a=1 e dividir 1 por b. Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 3

Aplicar o algoritmo da divisão com a=1 e um b\in A\setminus\{0\} qualquer.
Pela propriedade euclidiana, existem q,r\in A tais que
1 = bq + r
e ou r=0 ou N(r) < N(b).
Agora usamos a hipótese que nos foi dada: como r pertence a A e, se r\neq0, então N(r)=c; igualmente N(b)=c porque b\neq0. Então, se r\neq0 teríamos
N(r)=c = N(b),
o que contradiz a possibilidade N(r) < N(b). Portanto não pode ocorrer o caso r\neq0 com N(r)<N(b). Logo a única possibilidade compatível é r=0.

Passo 4

Da igualdade obtida com r=0 segue
1 = bq.
Isto mostra que q é o inverso multiplicativo de b. Como a escolha de b foi arbitrária entre os elementos não nulos de A, concluímos que todo elemento não nulo de A é invertível.

Passo 5

Conclusão final e interpretação didática breve: a hipótese de que a função norma N toma o mesmo valor para todos os elementos não nulos força, ao dividir 1 por qualquer b\neq0, que o resto da divisão seja zero; por isso b tem inverso. Portanto não há elementos não invertíveis exceto 0, e o anel A é um corpo.

Resposta

A é um corpo.

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