Questão 1. Seja
um domínio Euclidiano com norma
. Mostre que se
é constante para todo
, então
é um corpo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Informação 1:
é um domínio euclidiano com norma . - Informação 2: Existe um valor constante
tal que para todo . - Pergunta: Mostrar que
é um corpo (ou seja, que todo elemento não nulo de tem inverso multiplicativo).
Passo 2
Relembrando (com calma) o que significa ser domínio euclidiano e o que vamos usar.
- Definição operacional que usaremos: em um domínio euclidiano, para quaisquer
com existem elementos tais que
e ou
ou
.
Isto é a versão do “algoritmo da divisão” que caracteriza domínios euclidianos.
Isto é a versão do “algoritmo da divisão” que caracteriza domínios euclidianos.
- Definição de unidade: um elemento
é unidade se existe com . Um anel é corpo quando todo elemento não nulo é unidade.
Estratégia (comentário didático): para provar que
é corpo basta mostrar que todo
tem inverso. Uma maneira natural é aplicar a propriedade da divisão escolhendo
e dividir
por
. Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 3
Aplicar o algoritmo da divisão com
e um
qualquer.
Pela propriedade euclidiana, existem
tais que
e ou
ou
.
Agora usamos a hipótese que nos foi dada: como
pertence a
e, se
, então
; igualmente
porque
. Então, se
teríamos
o que contradiz a possibilidade
. Portanto não pode ocorrer o caso
com
. Logo a única possibilidade compatível é
.
Passo 4
Da igualdade obtida com
segue
Isto mostra que
é o inverso multiplicativo de
. Como a escolha de
foi arbitrária entre os elementos não nulos de
, concluímos que todo elemento não nulo de
é invertível.
Passo 5
Conclusão final e interpretação didática breve: a hipótese de que a função norma
toma o mesmo valor para todos os elementos não nulos força, ao dividir
por qualquer
, que o resto da divisão seja zero; por isso
tem inverso. Portanto não há elementos não invertíveis exceto
, e o anel
é um corpo.