Questão 4. Seja T um operador linear ortogonal de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}^{2}. Mostre que T preserva a distância entre pontos, isto é,
\|T(u)-T(v)\|=\|u-v\|, \quad \text { para todo } u, v \in \mathbb{R}^{2} .

Passo 1

O enunciado nos dá claramente:
  • Um operador T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 que é linear e ortogonal.
  • A tarefa: mostrar que T preserva distâncias, isto é, provar que
\|T(u)-T(v)\|=\|u-v\| \quad\text{para todo } u,v\in\mathbb{R}^2.
Informações relevantes que temos (retidas do enunciado):
  • T é linear (porta-soma e homogênea).
  • T é ortogonal (tem a propriedade característica de um operador ortogonal).

Passo 2

Vamos lembrar e fixar algumas definições básicas que vamos usar (devagar e com calma).
  • Produto interno em \mathbb{R}^2: para x=(x_1,x_2) e y=(y_1,y_2) definimos
\langle x,y\rangle = x_1y_1 + x_2y_2.
Esse produto interno é a maneira padrão de multiplicar vetores em \mathbb{R}^2.
  • Norma (comprimento) associada ao produto interno: para x\in\mathbb{R}^2,
\|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle}.
Então a distância entre u e v é \|u-v\|.

Passo 3

Precisamos usar a definição (ou uma propriedade equivalente) de operador ortogonal. Vou apresentar uma definição prática e fácil de trabalhar:
  • Dizemos que um operador linear T é ortogonal quando ele preserva o produto interno, i.e.,
\langle T(x),T(y)\rangle = \langle x,y\rangle\quad\text{para todos }x,y\in\mathbb{R}^2.
Outra forma equivalente (quando representamos T pela matriz A na base canônica) é escrever
A^\top A = I,
isto é, a matriz A é ortogonal. Ambas as formas significam o mesmo: aplicar T não altera produtos internos.

Passo 4

Vou mostrar primeiro por que a igualdade matricial A^\top A = I implica preservação do produto interno (mas se já aceitar a definição acima, pode pular este passo).
Se T é representada por A, então para x,y temos
\langle T(x),T(y)\rangle = (Ax)^\top (Ay) = x^\top (A^\top A) y.
Se A^\top A = I, então
x^\top (A^\top A) y = x^\top y = \langle x,y\rangle.
Portanto T preserva o produto interno.

Passo 5

Agora usamos linearidade de T para transformar a diferença T(u)-T(v) numa forma conveniente:
pela linearidade,
T(u)-T(v) = T(u-v).
Isto é muito prático: basta analisar a norma de T(u-v).

Passo 6

Calculemos a norma ao quadrado (estoque de truque clássico: trabalhar com a norma ao quadrado evita raízes e usa diretamente o produto interno).
\|T(u)-T(v)\|^2 = \langle T(u)-T(v),\,T(u)-T(v)\rangle.
Usando T(u)-T(v)=T(u-v) e a preservação do produto interno temos
\|T(u)-T(v)\|^2 = \langle T(u-v),\,T(u-v)\rangle = \langle u-v,\,u-v\rangle = \|u-v\|^2.
Como normas são não negativas, tomando raíz quadrada em ambos os lados obtemos
\|T(u)-T(v)\| = \|u-v\|.

Passo 7

Interpretando em palavras: um operador ortogonal não altera produtos internos; em particular não altera o comprimento de vetores e nem as distâncias entre pontos (distância = norma da diferença). O argumento acima é válido para quaisquer u,v\in\mathbb{R}^2, então está provado o que se pedia.

Resposta

\|T(u)-T(v)\|=\|u-v\|\quad\text{para todo }u,v\in\mathbb{R}^2