Questão 4. Seja
um operador linear ortogonal de
em
. Mostre que
preserva a distância entre pontos, isto é,
Passo 1
O enunciado nos dá claramente:
- Um operador
que é linear e ortogonal. - A tarefa: mostrar que
preserva distâncias, isto é, provar que
Informações relevantes que temos (retidas do enunciado):
-
é linear (porta-soma e homogênea). -
é ortogonal (tem a propriedade característica de um operador ortogonal).
Passo 2
Vamos lembrar e fixar algumas definições básicas que vamos usar (devagar e com calma).
- Produto interno em
: para e definimos
Esse produto interno é a maneira padrão de multiplicar vetores em
.
- Norma (comprimento) associada ao produto interno: para
,
Então a distância entre
e
é
.
Passo 3
Precisamos usar a definição (ou uma propriedade equivalente) de operador ortogonal. Vou apresentar uma definição prática e fácil de trabalhar:
- Dizemos que um operador linear
é ortogonal quando ele preserva o produto interno, i.e.,
Outra forma equivalente (quando representamos
pela matriz
na base canônica) é escrever
isto é, a matriz
é ortogonal. Ambas as formas significam o mesmo: aplicar
não altera produtos internos.
Passo 4
Vou mostrar primeiro por que a igualdade matricial
implica preservação do produto interno (mas se já aceitar a definição acima, pode pular este passo).
Se é representada por
, então para
temos
Se
Se
, então
Portanto
preserva o produto interno.
Passo 5
Agora usamos linearidade de
para transformar a diferença
numa forma conveniente:
pela linearidade,
pela linearidade,
Isto é muito prático: basta analisar a norma de
.
Passo 6
Calculemos a norma ao quadrado (estoque de truque clássico: trabalhar com a norma ao quadrado evita raízes e usa diretamente o produto interno).
Usando
e a preservação do produto interno temos
Como normas são não negativas, tomando raíz quadrada em ambos os lados obtemos
Passo 7
Interpretando em palavras: um operador ortogonal não altera produtos internos; em particular não altera o comprimento de vetores e nem as distâncias entre pontos (distância = norma da diferença). O argumento acima é válido para quaisquer
, então está provado o que se pedia.