Questāo 4: (a) Sejam
e
matrizes invertíveis. Verifique se
também é invertível. ( 1 ponto)
(b) Seja
. Suponha que
seja simétrica. Encontre
.
(b) Seja
Passo 1
O enunciado tem duas partes:
(a) Diz que
e
são matrizes invertíveis e pede para verificar se
também é invertível.
(b) Dá a matriz
e supõe que
é simétrica; pede o valor de
.
Informações relevantes dadas:
- Em (a):
e são invertíveis (isto é, existem e tais que e , onde é a matriz identidade). - Em (b): a forma explícita das entradas de
depende de e a condição a impor é que seja simétrica.]
Passo 2
Vamos lembrar o que significa “matriz invertível” e algumas propriedades usadas no argumento.
Definição (invertibilidade): Uma matriz quadrada
é invertível se existe uma matriz
tal que
onde
é a matriz identidade (aquela com
s na diagonal e
s fora dela). Essa inversa é única quando existe.
Propriedade útil (associatividade): A multiplicação de matrizes é associativa, ou seja, para matrizes compatíveis em dimensão vale
Isto permite reagrupar produtos sem mudar o resultado.
Passo 3
Construção do candidato a inversa de
:
Se
e
são invertíveis, proponho como inversa de
a matriz
. Agora verifico que ela funciona multiplicando nos dois lados.
Multiplicação à esquerda:
Aqui usei associatividade para agrupar
e que
; depois usei
.
Multiplicação à direita:
Novamente agrupando e usando
e
.
Como
é simultaneamente inverso à esquerda e à direita de
, concluímos que
é invertível e que
Comentário didático: a ordem dos inversos inverte a ordem do produto original. Isso é natural porque ao “desfazer” primeiro
e depois
precisa-se aplicar
antes de
, daí a ordem
.
Passo 4
Prova alternativa (intuição via determinante para matrizes quadradas):
Se
e
são matrizes quadradas invertíveis então
e
. Como vale a identidade
segue que
, logo
é invertível. Esta é uma demonstração rápida usando determinantes (útil quando se trabalha com matrizes numéricas 2×2, 3×3, etc.).
Passo 5
Exemplo concreto (para fixar a ideia):
Tome
e
. Então
Temos
e
. Calculando
que é exatamente
. Exemplo simples que mostra na prática a identidade
.]
Passo 6
Agora resolvo a parte (b). Escrevo a matriz dada explicitamente:
Condicional de simetria: uma matriz quadrada é simétrica quando
. Isso significa que as entradas fora da diagonal devem ser iguais, isto é, a entrada
deve ser igual à entrada
. Portanto impomos
Passo 7
Resolvo a equação para
:
Verificação rápida: com
a matriz fica
cuja entrada
é
e
também é
, logo é simétrica como exigido.]
Resposta
(a) Sim.
é invertível e
.
(b)