O ângulo entre \vec{v} e \vec{u} é \theta = \dfrac{\pi}{3}.
O que se pede: calcular \big\|(2\vec{v}-\vec{u}) \times (\vec{v}+\vec{u})\big. Vou trabalhar essas quantidades com propriedades do produto vetorial.
Passo 2
Lembrete das propriedades do produto vetorial que vou usar (explicando cada coisa):
Distributividade: para quaisquer vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}.Isso significa que o produto vetorial “distribui” sobre a soma.
Homogeneidade em escalar: para escalar \alpha,(\alpha\vec{a})\times\vec{b}=\alpha(\vec{a}\times\vec{b}).Ou seja, podemos tirar constantes para fora do produto vetorial.
Anticomutatividade:\vec{u}\times\vec{v}=-\,\vec{v}\times\vec{u}.Isso diz que trocar a ordem troca o sinal.
Magnitude do produto vetorial: para vetores \vec{a},\vec{b} e ângulo \varphi entre eles,\|\vec{a}\times\vec{b}\|=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\,\sin(\varphi).Aqui \|\cdot\| é a norma (comprimento) do vetor e \sin(\varphi) é o seno do ângulo entre eles.
Propriedade da norma com escalar: para escalar \lambda e vetor \vec{w},\|\lambda\vec{w}\|=|\lambda|\,\|\vec{w}\|.