Questão 5 Sejam \|\vec{v}\|=1,\|\vec{u}\|=3 e(\vec{v}, \vec{u})=\pi / 3. Calcule \|(2 \vec{v}-\vec{u}) \times(\vec{v}+\vec{u})\|

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \|\vec{v}\| = 1.
  • \|\vec{u}\| = 3.
  • O ângulo entre \vec{v} e \vec{u} é \theta = \dfrac{\pi}{3}.
O que se pede: calcular \big\|(2\vec{v}-\vec{u}) \times (\vec{v}+\vec{u})\big. Vou trabalhar essas quantidades com propriedades do produto vetorial.

Passo 2

Lembrete das propriedades do produto vetorial que vou usar (explicando cada coisa):
  • Distributividade: para quaisquer vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c}, \vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}.Isso significa que o produto vetorial “distribui” sobre a soma.
  • Homogeneidade em escalar: para escalar \alpha, (\alpha\vec{a})\times\vec{b}=\alpha(\vec{a}\times\vec{b}).Ou seja, podemos tirar constantes para fora do produto vetorial.
  • Anticomutatividade: \vec{u}\times\vec{v}=-\,\vec{v}\times\vec{u}.Isso diz que trocar a ordem troca o sinal.
  • Magnitude do produto vetorial: para vetores \vec{a},\vec{b} e ângulo \varphi entre eles, \|\vec{a}\times\vec{b}\|=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\,\sin(\varphi).Aqui \|\cdot\| é a norma (comprimento) do vetor e \sin(\varphi) é o seno do ângulo entre eles.
  • Propriedade da norma com escalar: para escalar \lambda e vetor \vec{w}, \|\lambda\vec{w}\|=|\lambda|\,\|\vec{w}\|.

Passo 3

Expandir usando distributividade e homogeneidade:
(2\vec{v}-\vec{u})\times(\vec{v}+\vec{u}) =2\vec{v}\times\vec{v}+2\vec{v}\times\vec{u}-\vec{u}\times\vec{v}-\vec{u}\times\vec{u}.
Agora uso que \vec{v}\times\vec{v}=\vec{0} e \vec{u}\times\vec{u}=\vec{0} (produto vetorial de um vetor por ele mesmo é zero). Sobra
2\vec{v}\times\vec{u}-\vec{u}\times\vec{v}.
Usando anticomutatividade ( \vec{u}\times\vec{v}=-\vec{v}\times\vec{u}) temos
2\vec{v}\times\vec{u}-\vec{u}\times\vec{v}=2\vec{v}\times\vec{u}-(-\vec{v}\times\vec{u})=3\vec{v}\times\vec{u}.
Logo a expressão vetorial simplifica para
(2\vec{v}-\vec{u})\times(\vec{v}+\vec{u})=3\,(\vec{v}\times\vec{u}).

Passo 4

Agora passo a norma:
\big\|(2\vec{v}-\vec{u})\times(\vec{v}+\vec{u})\big\| =\big\|3(\vec{v}\times\vec{u})\big\| =3\,\big\|\vec{v}\times\vec{u}\big\|,
usando \|\lambda \vec{w}\|=|\lambda|\,\|\vec{w}\|.

Passo 5

Calcular \|\vec{v}\times\vec{u}\| com a fórmula da magnitude:
\big\|\vec{v}\times\vec{u}\big\|=\|\vec{v}\|\,\|\vec{u}\|\,\sin(\theta).
Substituindo os valores dados ( \|\vec{v}\|=1,\\ \|\vec{u}\|=3,\\ \theta=\dfrac{\pi}{3}):
\big\|\vec{v}\times\vec{u}\big\|=1\cdot 3\cdot \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=3\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right).
Portanto, pela etapa anterior,
\big\|(2\vec{v}-\vec{u})\times(\vec{v}+\vec{u})\big\|=3\cdot 3\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=9\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right).
Recordando que \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, chegamos ao valor final abaixo.

Resposta

\dfrac{9\sqrt{3}}{2}