Questão 4 Sejam
vetores unitários tais que
. Mostre que
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (todas extraídas do enunciado):
-
são vetores unitários, ou seja, , , . -
(a soma dos três vetores é o vetor nulo).
A pergunta é: calcular o valor de
Passo 2
Relembrando propriedades fundamentais do produto interno (produto escalar) que vamos usar:
- Simetria:
. - Bilinearidade/Distributividade:
e para escalar . - Relação com norma:
.
Essas propriedades permitem expandir normas de somas usando produtos escalares. Vou mostrar isso passo a passo no próximo passo.
Passo 3
Como
, a norma desse vetor é zero. Então
Escrevendo a norma ao quadrado como produto interno e expandindo com bilinearidade:
Agora distribuo o produto interno (abre os termos):
Usando a simetria
, os termos mistos aparecem duas vezes cada um. Agrupando:
Passo 4
Substituo
e
(já que cada vetor é unitário), igualmente para
e
. Assim:
Simplificando:
onde
é o somatório pedido. Resolvo para
:
Passo 5
Interpretação rápida e dica para prova: a técnica usada foi considerar a norma ao quadrado da soma que é zero e expandir via produto interno — é uma manobra padrão e muito útil quando uma soma de vetores é o vetor nulo. Sempre que vir
, tente computar
para extrair relações entre produtos escalares.