Questão 4 Sejam \vec{v}, \vec{u}, \vec{w} vetores unitários tais que \vec{v}+\vec{u}+\vec{w}=\overrightarrow{0}. Mostre que
<\vec{v}, \vec{u}>+<\vec{v}, \vec{w}>+<\vec{u}, \vec{w}>=\frac{-3}{2}

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (todas extraídas do enunciado):
  • \vec{v}, \vec{u}, \vec{w} são vetores unitários, ou seja, \|\vec{v}\|=1, \|\vec{u}\|=1, \|\vec{w}\|=1.
  • \vec{v}+\vec{u}+\vec{w}=\overrightarrow{0} (a soma dos três vetores é o vetor nulo).
A pergunta é: calcular o valor de
S = \langle \vec{v}, \vec{u}\rangle + \langle \vec{v}, \vec{w}\rangle + \langle \vec{u}, \vec{w}\rangle.

Passo 2

Relembrando propriedades fundamentais do produto interno (produto escalar) que vamos usar:
  • Simetria: \langle \vec{a}, \vec{b}\rangle = \langle \vec{b}, \vec{a}\rangle.
  • Bilinearidade/Distributividade: \langle \vec{a}+\vec{b}, \vec{c}\rangle = \langle \vec{a}, \vec{c}\rangle + \langle \vec{b}, \vec{c}\rangle e \langle \alpha \vec{a}, \vec{b}\rangle = \alpha \langle \vec{a}, \vec{b}\rangle para escalar \alpha.
  • Relação com norma: \langle \vec{a}, \vec{a}\rangle = \|\vec{a}\|^{2}.
Essas propriedades permitem expandir normas de somas usando produtos escalares. Vou mostrar isso passo a passo no próximo passo.

Passo 3

Como \vec{v}+\vec{u}+\vec{w}=\overrightarrow{0}, a norma desse vetor é zero. Então
\|\vec{v}+\vec{u}+\vec{w}\|^{2}=0.
Escrevendo a norma ao quadrado como produto interno e expandindo com bilinearidade:
\|\vec{v}+\vec{u}+\vec{w}\|^{2}=\langle \vec{v}+\vec{u}+\vec{w},\; \vec{v}+\vec{u}+\vec{w}\rangle.
Agora distribuo o produto interno (abre os termos):
\begin{aligned} \langle \vec{v}+\vec{u}+\vec{w},\; \vec{v}+\vec{u}+\vec{w}\rangle &= \langle \vec{v},\vec{v}\rangle + \langle \vec{v},\vec{u}\rangle + \langle \vec{v},\vec{w}\rangle \\\ &\quad + \langle \vec{u},\vec{v}\rangle + \langle \vec{u},\vec{u}\rangle + \langle \vec{u},\vec{w}\rangle \\\ &\quad + \langle \vec{w},\vec{v}\rangle + \langle \vec{w},\vec{u}\rangle + \langle \vec{w},\vec{w}\rangle. \end{aligned}
Usando a simetria \langle \vec{a},\vec{b}\rangle=\langle \vec{b},\vec{a}\rangle, os termos mistos aparecem duas vezes cada um. Agrupando:
\|\vec{v}+\vec{u}+\vec{w}\|^{2} = \langle \vec{v},\vec{v}\rangle + \langle \vec{u},\vec{u}\rangle + \langle \vec{w},\vec{w}\rangle + 2\big(\langle \vec{v},\vec{u}\rangle + \langle \vec{v},\vec{w}\rangle + \langle \vec{u},\vec{w}\rangle\big).

Passo 4

Substituo \|\vec{v}+\vec{u}+\vec{w}\|^{2}=0 e \langle \vec{v},\vec{v}\rangle=\|\vec{v}\|^{2}=1 (já que cada vetor é unitário), igualmente para \vec{u} e \vec{w}. Assim:
0 = 1 + 1 + 1 + 2\big(\langle \vec{v},\vec{u}\rangle + \langle \vec{v},\vec{w}\rangle + \langle \vec{u},\vec{w}\rangle\big).
Simplificando:
0 = 3 + 2S,
onde S é o somatório pedido. Resolvo para S:
2S = -3 \quad\Rightarrow\quad S = -\tfrac{3}{2}.

Passo 5

Interpretação rápida e dica para prova: a técnica usada foi considerar a norma ao quadrado da soma que é zero e expandir via produto interno — é uma manobra padrão e muito útil quando uma soma de vetores é o vetor nulo. Sempre que vir \vec{a}+\vec{b}+\cdots=\vec{0}, tente computar \|\vec{a}+\vec{b}+\cdots\|^{2} para extrair relações entre produtos escalares.

Resposta

-\tfrac{3}{2}