Questão 4.6 Um sifão é utilizado para retirar água a
de um tanque. Nesta condição:
a) Mostre que a vazão na mangueira pode ser alterada em função de h (comprimento do sifão abaixo do nível de líquido).
b) Determine a vazão máxima na mangueira, admitindo-se as perdas por atrito são desprezíveis. (DICA: A condição limite deverá ser a cavitação no escoamento.)
c) A vazão máxima calculada é maior ou menor do que a vazão real no sifão? Justificar a sua resposta.
a) Mostre que a vazão na mangueira pode ser alterada em função de h (comprimento do sifão abaixo do nível de líquido).
b) Determine a vazão máxima na mangueira, admitindo-se as perdas por atrito são desprezíveis. (DICA: A condição limite deverá ser a cavitação no escoamento.)
c) A vazão máxima calculada é maior ou menor do que a vazão real no sifão? Justificar a sua resposta.
Passo 1
Vou deixar claro o que o problema pede e o que é dado.
-
O enunciado pede três coisas:
- (a) Mostrar que a vazão na mangueira (sifão) pode ser alterada em função de
, onde é o comprimento/altura vertical do escoamento abaixo do nível livre do líquido (ou seja, a profundidade do orifício de saída em relação ao nível livre). - (b) Determinar a vazão máxima, admitindo perdas por atrito desprezíveis. A dica diz que a condição limite é a cavitação (ou seja, pressão mínima no ponto mais elevado do sifão alcança a pressão de vapor do líquido).
- (c) Dizer se a vazão máxima calculada é maior ou menor que a vazão real e justificar.
- (a) Mostrar que a vazão na mangueira (sifão) pode ser alterada em função de
-
Informações relevantes dadas / que usarei:
- O fluido é água à
. Para água a usarei os valores padrão:
- O fluido é água à
- Assumo escoamento estacionário, incompressível e sem atrito (Bernoulli aplicável sem termos de perda).
- Denotarei por
a área da seção da mangueira e por a velocidade do escoamento na mangueira; a vazão volumétrica é . - Denotarei por
a elevação do ponto mais alto do sifão (crista) medida em relação ao nível livre do líquido (positiva se o crista estiver acima do nível).
Não começo a resolver aqui; a resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Derivar a relação básica entre velocidade (e, portanto, vazão) e
usando Bernoulli (mostrando por que
depende de
).
-
Teorema de Bernoulli (para escoamento incompressível, sem atrito, ao longo de uma linha de corrente):onde
-
é a pressão local (Pa), -
é a densidade do fluido (kg/m ), -
é a cota vertical (m), -
é a velocidade (m/s).
-
-
Aplicação prática: escolher dois pontos convenientes — ponto 1 na superfície livre do tanque (nível), ponto 2 na saída do sifão (que fica a profundidade
abaixo do nível). Tomar a cota do nível como e a cota da saída como . A superfície livre tem velocidade desprezível ( ) e pressão atmosférica ( ). A saída descarga para a atmosfera ( ). Aplicando Bernoulli entre 1 e 2: Simplificando:Logo -
A vazão volumétrica é
-
Interpretação didática e física: essa é a fórmula de Torricelli (saída sob cabeça
). Ela mostra explicitamente que, sem atrito, a velocidade (e portanto a vazão) depende de — aumentando aumenta como . Assim a vazão pode ser alterada controlando a profundidade do ponto de saída.
Passo 3
Identificar a condição de cavitação e deduzir a expressão geral para a vazão máxima (considerando possível crista do sifão acima do nível).
-
Por que cavitação importa: no sifão existe um ponto de pressão mínima — normalmente o ponto mais elevado da tubulação (crista). Se ali a pressão cair até a pressão de vapor do fluido
, o líquido começa a vaporizar (bolhas) — cavitação — que interrompe/limita o escoamento. Portanto a condição limite sem cavitação é que a pressão mínima no sifão seja maior que . A condição limite (início da cavitação) é -
Calcular
pelo Bernoulli entre a superfície livre (ponto 1) e o crista (ponto c). Na superfície: . No crista: (positiva se acima do nível), e velocidade na tubulação é (assumo velocidade praticamente uniforme ao longo da tubulação).
Aplicando Bernoulli:Rearranjando:A condição de cavitaçãodá Então -
Mas também já temos da Bernoulli entre superfície e saída (ver Passo 2):
-
Igualando (1) e (2) para o caso limite (início de cavitação) obtemos a altura máxima
que permite escoamento sem cavitação: Portanto a forma geral éObservações:- Se o crista coincide com o nível livre (
) a expressão reduz a valor clássico (máxima coluna de água que se pode sustentar por pressão atmosférica). - Se o crista estiver acima do nível (
), diminui; se o crista estiver abaixo ( ), aumenta (mas, realisticamente, crista abaixo do nível não é usual em sifões).
- Se o crista coincide com o nível livre (
Passo 4
Calcular numericamente
,
e expressar
(por unidade de área e em forma geral).
- Substituindo valores para água a
:
Portanto
-
Assim a expressão numérica geral é
- Se o crista estiver no nível da água (
), então .
- Se o crista estiver no nível da água (
-
Velocidade máxima associada (usar
): Parae : -
Vazão máxima em função da área
: Assim, sem escolher, a vazão máxima é proporcional à área. Exemplos rápidos: - Para
(1,cm ): - Para
(1000,mm ):
- Para
Passo 5
Responder qualitativamente se a vazão máxima calculada é maior ou menor do que a vazão real e justificar.
- O
obtido acima é um limite ideal, calculado supondo escoamento sem perdas por atrito (Bernoulli ideal) e assumindo que o escoamento se mantém sem efeitos adicionais até o ponto de cavitação. - Na prática, a vazão real é menor que
por vários motivos: - Perdas por atrito ao longo da mangueira (perda de carga distribuída) reduzem a energia disponível, logo reduzem
e . - Perdas localizadas (entradas, curvas, conexões) também reduzem a vazão.
- Mesmo antes da pressão atingir exatamente
, podem ocorrer nucleações, bolhas ou entrada de ar que degradam o desempenho; bolhas e cavitação parcial aumentam as perdas e diminuem a vazão efetiva. - Imperfeições, rugosidade e escoamento não-uniforme reduzem a velocidade média.
- Perdas por atrito ao longo da mangueira (perda de carga distribuída) reduzem a energia disponível, logo reduzem
- Portanto: a vazão real observada será sempre menor do que o
ideal calculado (a menos que se consiga eliminar totalmente perdas — impossível na prática).
Passo 6
Resumo prático (passo-a-passo que pode ser repetido na prova).
- Para achar
em prova: aplicar Bernoulli entre superfície ( ) e saída a profundidade e obter . Multiplicar por para obter . - Para achar
: escrever condição de cavitação no ponto mais alto (usar Bernoulli entre superfície e crista e igualar a ); combinar com Bernoulli entre superfície e saída para eliminar e achar . Depois e . - Lembre-se de usar os valores reais de
e na temperatura dada.
Resposta
(a)
(b)
. Para água a
. Se o crista do sifão estiver no nível da água (
), então
,
e
(c) A vazão real é menor que
. Justificativa: perdas por atrito e locais, efeitos de entrada/curvas, e cavitação parcial/bolhas reduzem a vazão efetiva em comparação com o limite ideal sem perdas.