Questão 4.6 Um sifão é utilizado para retirar água a 20^{\circ} \mathrm{C} de um tanque. Nesta condição:
a) Mostre que a vazão na mangueira pode ser alterada em função de h (comprimento do sifão abaixo do nível de líquido).
b) Determine a vazão máxima na mangueira, admitindo-se as perdas por atrito são desprezíveis. (DICA: A condição limite deverá ser a cavitação no escoamento.)
c) A vazão máxima calculada é maior ou menor do que a vazão real no sifão? Justificar a sua resposta.

Passo 1

Vou deixar claro o que o problema pede e o que é dado.
  • O enunciado pede três coisas:
    1. (a) Mostrar que a vazão na mangueira (sifão) pode ser alterada em função de h, onde h é o comprimento/altura vertical do escoamento abaixo do nível livre do líquido (ou seja, a profundidade do orifício de saída em relação ao nível livre).
    2. (b) Determinar a vazão máxima, admitindo perdas por atrito desprezíveis. A dica diz que a condição limite é a cavitação (ou seja, pressão mínima no ponto mais elevado do sifão alcança a pressão de vapor do líquido).
    3. (c) Dizer se a vazão máxima calculada é maior ou menor que a vazão real e justificar.
  • Informações relevantes dadas / que usarei:
    • O fluido é água à 20^\circ\mathrm{C}. Para água a 20^\circ\mathrm{C} usarei os valores padrão: p_{\mathrm{atm}}=101325\\ \mathrm{Pa},\qquad p_{\mathrm{vap}}(20^\circ\mathrm{C})\approx 2339\\ \mathrm{Pa},
\rho\approx 998\\ \mathrm{kg\,m^{-3}},\qquad g=9{,}81\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
  • Assumo escoamento estacionário, incompressível e sem atrito (Bernoulli aplicável sem termos de perda).
  • Denotarei por A a área da seção da mangueira e por v a velocidade do escoamento na mangueira; a vazão volumétrica é Q=A v.
  • Denotarei por y_c a elevação do ponto mais alto do sifão (crista) medida em relação ao nível livre do líquido (positiva se o crista estiver acima do nível).
Não começo a resolver aqui; a resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Derivar a relação básica entre velocidade (e, portanto, vazão) e h usando Bernoulli (mostrando por que Q depende de h).
  • Teorema de Bernoulli (para escoamento incompressível, sem atrito, ao longo de uma linha de corrente):
    p+\rho g y+\tfrac{1}{2}\rho v^{2}=\text{constante},
    onde
    • p é a pressão local (Pa),
    • \rho é a densidade do fluido (kg/m ^3),
    • y é a cota vertical (m),
    • v é a velocidade (m/s).
  • Aplicação prática: escolher dois pontos convenientes — ponto 1 na superfície livre do tanque (nível), ponto 2 na saída do sifão (que fica a profundidade h abaixo do nível). Tomar a cota do nível como y_1=0 e a cota da saída como y_2=-h. A superfície livre tem velocidade desprezível ( v_1\approx0) e pressão atmosférica ( p_1=p_{\mathrm{atm}}). A saída descarga para a atmosfera ( p_2=p_{\mathrm{atm}}). Aplicando Bernoulli entre 1 e 2:
    p_{\mathrm{atm}}+\rho g\cdot 0+\tfrac{1}{2}\rho\cdot 0^{2} = p_{\mathrm{atm}}+\rho g(-h)+\tfrac{1}{2}\rho v^{2}.
    Simplificando:
    0 = -\rho g h + \tfrac{1}{2}\rho v^{2}\quad\Longrightarrow\quad \tfrac{1}{2}\rho v^{2}=\rho g h.
    Logo
    v=\sqrt{2 g h}.
  • A vazão volumétrica é
    Q=A v = A\sqrt{2 g h}.
  • Interpretação didática e física: essa é a fórmula de Torricelli (saída sob cabeça h). Ela mostra explicitamente que, sem atrito, a velocidade (e portanto a vazão) depende de h — aumentando h aumenta v como \sqrt{h}. Assim a vazão pode ser alterada controlando a profundidade h do ponto de saída.

Passo 3

Identificar a condição de cavitação e deduzir a expressão geral para a vazão máxima (considerando possível crista do sifão acima do nível).
  • Por que cavitação importa: no sifão existe um ponto de pressão mínima — normalmente o ponto mais elevado da tubulação (crista). Se ali a pressão cair até a pressão de vapor do fluido p_{\mathrm{vap}}, o líquido começa a vaporizar (bolhas) — cavitação — que interrompe/limita o escoamento. Portanto a condição limite sem cavitação é que a pressão mínima no sifão seja maior que p_{\mathrm{vap}}. A condição limite (início da cavitação) é
    p_{\text{crista}}=p_{\mathrm{vap}}.
  • Calcular p_{\text{crista}} pelo Bernoulli entre a superfície livre (ponto 1) e o crista (ponto c). Na superfície: p_1=p_{\mathrm{atm}},\;y_1=0,\;v_1\approx0. No crista: p_c=p_{\text{crista}},\;y_c (positiva se acima do nível), e velocidade na tubulação é v (assumo velocidade praticamente uniforme ao longo da tubulação).
    Aplicando Bernoulli:
    p_{\mathrm{atm}}+\rho g\cdot 0 + 0 = p_c + \rho g y_c + \tfrac{1}{2}\rho v^{2}.
    Rearranjando:
    p_c = p_{\mathrm{atm}} - \rho g y_c - \tfrac{1}{2}\rho v^{2}.
    A condição de cavitação p_c=p_{\mathrm{vap}}
    p_{\mathrm{vap}} = p_{\mathrm{atm}} - \rho g y_c - \tfrac{1}{2}\rho v^{2}.
    Então
    \tfrac{1}{2}\rho v^{2} = p_{\mathrm{atm}} - p_{\mathrm{vap}} - \rho g y_c. \qquad(1)
  • Mas também já temos da Bernoulli entre superfície e saída (ver Passo 2):
    \tfrac{1}{2}\rho v^{2}=\rho g h. \qquad(2)
  • Igualando (1) e (2) para o caso limite (início de cavitação) obtemos a altura máxima h_{\max} que permite escoamento sem cavitação:
    \rho g h_{\max} = p_{\mathrm{atm}} - p_{\mathrm{vap}} - \rho g y_c.
    Portanto a forma geral é
    h_{\max}=\frac{p_{\mathrm{atm}}-p_{\mathrm{vap}}}{\rho g}-y_c.
    Observações:
    • Se o crista coincide com o nível livre ( y_c=0) a expressão reduz a h_{\max}=\frac{p_{\mathrm{atm}}-p_{\mathrm{vap}}}{\rho g},valor clássico (máxima coluna de água que se pode sustentar por pressão atmosférica).
    • Se o crista estiver acima do nível ( y_c>0), h_{\max} diminui; se o crista estiver abaixo ( y_c<0), h_{\max} aumenta (mas, realisticamente, crista abaixo do nível não é usual em sifões).

Passo 4

Calcular numericamente h_{\max}, v_{\max} e expressar Q_{\max} (por unidade de área e em forma geral).
  • Substituindo valores para água a 20^\circ\mathrm{C}: p_{\mathrm{atm}}-p_{\mathrm{vap}} = 101325 - 2339 = 98986\\ \mathrm{Pa}.
\rho g \approx 998\times 9{,}81 = 9790{,}4\\ \mathrm{N\,m^{-3}}.
Portanto
\frac{p_{\mathrm{atm}}-p_{\mathrm{vap}}}{\rho g} \approx \frac{98986}{9790{,}4}\approx 10{,}11\\ \mathrm{m}.
  • Assim a expressão numérica geral é
    h_{\max}\approx 10{,}11\\ \mathrm{m} - y_c.
    • Se o crista estiver no nível da água ( y_c=0), então h_{\max}\approx 10{,}11\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade máxima associada (usar \tfrac{1}{2}\rho v^{2}=\rho g h_{\max}):
    v_{\max}=\sqrt{2 g h_{\max}}.
    Para y_c=0 e h_{\max}=10{,}11\\ \mathrm{m}:
    v_{\max}=\sqrt{2\cdot 9{,}81\cdot 10{,}11}\approx\sqrt{198{,}3}\approx 14{,}09\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
  • Vazão máxima em função da área A:
    Q_{\max}=A v_{\max}=A\sqrt{2 g h_{\max}}.
    Assim, sem escolher A, a vazão máxima é proporcional à área. Exemplos rápidos:
    • Para A=1{,}0\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}} (1,cm ^2): Q_{\max}\approx 1{,}0\times 10^{-4}\times 14{,}09\approx 1{,}41\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}=1{,}41\\ \mathrm{L/s}.
    • Para A=1{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}} (1000,mm ^2): Q_{\max}\approx 0{,}0141\\ \mathrm{m^3/s}=14{,}1\\ \mathrm{L/s}.

Passo 5

Responder qualitativamente se a vazão máxima calculada é maior ou menor do que a vazão real e justificar.
  • O Q_{\max} obtido acima é um limite ideal, calculado supondo escoamento sem perdas por atrito (Bernoulli ideal) e assumindo que o escoamento se mantém sem efeitos adicionais até o ponto de cavitação.
  • Na prática, a vazão real é menor que Q_{\max} por vários motivos:
    • Perdas por atrito ao longo da mangueira (perda de carga distribuída) reduzem a energia disponível, logo reduzem v e Q.
    • Perdas localizadas (entradas, curvas, conexões) também reduzem a vazão.
    • Mesmo antes da pressão atingir exatamente p_{\mathrm{vap}}, podem ocorrer nucleações, bolhas ou entrada de ar que degradam o desempenho; bolhas e cavitação parcial aumentam as perdas e diminuem a vazão efetiva.
    • Imperfeições, rugosidade e escoamento não-uniforme reduzem a velocidade média.
  • Portanto: a vazão real observada será sempre menor do que o Q_{\max} ideal calculado (a menos que se consiga eliminar totalmente perdas — impossível na prática).

Passo 6

Resumo prático (passo-a-passo que pode ser repetido na prova).
  • Para achar Q(h) em prova: aplicar Bernoulli entre superfície ( v\approx0) e saída a profundidade h e obter v=\sqrt{2 g h}. Multiplicar por A para obter Q.
  • Para achar Q_{\max}: escrever condição de cavitação no ponto mais alto (usar Bernoulli entre superfície e crista e igualar p_c a p_{\mathrm{vap}}); combinar com Bernoulli entre superfície e saída para eliminar v e achar h_{\max}. Depois v_{\max}=\sqrt{2 g h_{\max}} e Q_{\max}=A v_{\max}.
  • Lembre-se de usar os valores reais de p_{\mathrm{vap}} e \rho na temperatura dada.

Resposta

(a) Q(h)=A\sqrt{2 g h}.
(b) h_{\max}=\dfrac{p_{\mathrm{atm}}-p_{\mathrm{vap}}}{\rho g}-y_{c}. Para água a 20^\circ\mathrm{C} \dfrac{p_{\mathrm{atm}}-p_{\mathrm{vap}}}{\rho g}\approx 10{,}11\\ \mathrm{m}. Se o crista do sifão estiver no nível da água ( y_c=0), então h_{\max}\approx 10{,}11\\ \mathrm{m}, v_{\max}\approx 14{,}09\\ \mathrm{m\,s^{-1}} e
Q_{\max}=A\cdot 14{,}09\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
(c) A vazão real é menor que Q_{\max}. Justificativa: perdas por atrito e locais, efeitos de entrada/curvas, e cavitação parcial/bolhas reduzem a vazão efetiva em comparação com o limite ideal sem perdas.

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