Questão 8. Um sítio tetraédrico é um espaço vazio em uma rede cristalina cercado por quatro átomos em uma geometria tetraédrica. Calcule o raio r de um átomo de impureza que irá se ajustar exatamente no interior de um sítio octaédrico CFC em termos do raio atômico R do átomo hospedeiro (sem introduzir deformações na rede cristalina).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o raio r de um átomo de impureza que cabe exatamente dentro de um sítio octaédrico em uma rede CFC (sem deformar a rede), em função do raio atômico do átomo hospedeiro R.
Informações dadas que vamos usar:
  • A rede é cúbica de faces centradas (CFC).
  • O raio do átomo hospedeiro é \,R.
  • Queremos r tal que a esfera do átomo de impureza toque exatamente as esferas dos átomos hospedeiros que limitam o sítio octaédrico.

Passo 2

Vamos relacionar o parâmetro de rede a com o raio atômico R. Em uma CFC, a menor distância entre centros de átomos vizinhos (distância entre vizinhos mais próximos) é \dfrac{a}{\sqrt{2}}. Essa distância corresponde a dois raios atômicos (duas esferas em contato), ou seja, 2R. Portanto temos a relação
\frac{a}{\sqrt{2}} = 2R
Agora isolamos a:
a = 2\sqrt{2}\,R

Passo 3

Identificamos a posição do sítio octaédrico relevante: há um sítio octaédrico no centro da célula cúbica. Os seis átomos hospedeiros mais próximos desse sítio estão nos centros das faces da célula, em (\pm a/2,0,0), (0,\pm a/2,0) e (0,0,\pm a/2). A distância do centro da célula (onde colocamos a impureza) até qualquer um desses centros de face é
\frac{a}{2}.
Para que a impureza toque exatamente os átomos hospedeiros, essa distância deve ser igual à soma dos raios: R + r. Logo
\frac{a}{2} = R + r.

Passo 4

Substituímos a expressão de a obtida no Passo 2 na equação do Passo 3:
\frac{1}{2}\,\bigl(2\sqrt{2}\,R\bigr) = R + r.
Simplificando o lado esquerdo:
\sqrt{2}\,R = R + r.
Agora isolamos r:
r = \sqrt{2}\,R - R.

Passo 5

Fatorando R obtemos a forma mais compacta:
r = (\sqrt{2}-1)\,R.
Se quiser uma aproximação numérica, \sqrt{2}-1 \approx 0{,}4142, então r \approx 0{,}4142\,R. Força aí — você já tem a fórmula pronta para usar na prova!

Resposta

\;r=(\sqrt{2}-1)\,R

Exercícios relacionados