Questão 8. Um sítio tetraédrico é um espaço vazio em uma rede cristalina cercado por quatro átomos em uma geometria tetraédrica. Calcule o raio r de um átomo de impureza que irá se ajustar exatamente no interior de um sítio octaédrico CFC em termos do raio atômico R do átomo hospedeiro (sem introduzir deformações na rede cristalina).
Passo 1
O enunciado pede para calcular o raio
de um átomo de impureza que cabe exatamente dentro de um sítio octaédrico em uma rede CFC (sem deformar a rede), em função do raio atômico do átomo hospedeiro
.
Informações dadas que vamos usar:
Informações dadas que vamos usar:
- A rede é cúbica de faces centradas (CFC).
- O raio do átomo hospedeiro é
. - Queremos
tal que a esfera do átomo de impureza toque exatamente as esferas dos átomos hospedeiros que limitam o sítio octaédrico.
Passo 2
Vamos relacionar o parâmetro de rede
com o raio atômico
. Em uma CFC, a menor distância entre centros de átomos vizinhos (distância entre vizinhos mais próximos) é
. Essa distância corresponde a dois raios atômicos (duas esferas em contato), ou seja,
. Portanto temos a relação
Agora isolamos
:
Passo 3
Identificamos a posição do sítio octaédrico relevante: há um sítio octaédrico no centro da célula cúbica. Os seis átomos hospedeiros mais próximos desse sítio estão nos centros das faces da célula, em
,
e
. A distância do centro da célula (onde colocamos a impureza) até qualquer um desses centros de face é
Para que a impureza toque exatamente os átomos hospedeiros, essa distância deve ser igual à soma dos raios:
. Logo
Passo 4
Substituímos a expressão de
obtida no Passo 2 na equação do Passo 3:
Simplificando o lado esquerdo:
Agora isolamos
:
Passo 5
Fatorando
obtemos a forma mais compacta:
Se quiser uma aproximação numérica,
, então
. Força aí — você já tem a fórmula pronta para usar na prova!