Questão 1: Sobre a sequência A_{n}=\frac{e^{n^{2}}}{n!}, a única alternativa correta é:
A) converge a infinito de forma crescente para n grande
B) converge a 1 de forma crescente para n grande.
C) converge a 1 de forma decrescente para n grande.
D) converge a 0 de forma decrescente para n grande.
E) converge a 0 de forma crescente para n grande.

Passo 1

O enunciado dá a sequência A_{n}=\frac{e^{n^{2}}}{n!} e pergunta qual das alternativas é correta sobre o comportamento para n grande: se tende a \infty, a 1 ou a 0 e se é crescente ou decrescente. Ou seja, preciso determinar (i) o limite \lim_{n\to\infty}A_n e (ii) se A_n é eventualmente crescente ou decrescente.

Passo 2

Vou primeiro decidir o limite \lim_{n\to\infty}A_n. Uma forma prática é comparar o crescimento do numerador e^{n^2} com o do denominador n!. Uso a desigualdade elementar, válida para n\ge1:
n! \le n^n.
Dessa desigualdade segue uma desigualdade inferior para A_n:
A_n=\frac{e^{n^2}}{n!}\ge\frac{e^{n^2}}{n^n}=e^{\,n^2-n\ln n}.
Agora analiso o expoente n^2-n\ln n. Escrevo
n^2-n\ln n = n^2\!\left(1-\frac{\ln n}{n}\right).
Conhecemos o fato (pode-se ver por L’Hôpital) de que
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0.
Portanto 1-\dfrac{\ln n}{n}\to1 e, em particular, para n grande é positivo e da ordem unitaria; logo n^2-n\ln n\to\infty. Assim
e^{\,n^2-n\ln n}\to\infty,
e pela desigualdade anterior temos A_n\to\infty. Em palavras: o numerador e^{n^2} cresce muito mais rápido (exponencial em n^2) do que o fator \ln(n!)\sim n\ln n no denominador, portanto a sequência diverge para infinito.

Passo 3

Agora verifico a monotonicidade (se é crescente ou decrescente para n grande). Calculo a razão entre termos consecutivos:
\frac{A_{n+1}}{A_n} =\frac{e^{(n+1)^2}/(n+1)!}{e^{n^2}/n!} =\frac{e^{(n+1)^2-n^2}}{n+1} =\frac{e^{2n+1}}{n+1}.
Para ver se essa razão é maior ou menor que 1 uso logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{A_{n+1}}{A_n}\right)=2n+1-\ln(n+1).
Aplico a desigualdade conhecida \ln(1+x)\le x para x=n (válida para n\ge0), que dá \ln(n+1)\le n. Assim
\ln\!\left(\frac{A_{n+1}}{A_n}\right)\ge 2n+1-n = n+1>0\quad\text{para todo }n\ge1.
Portanto \ln\!\left(\frac{A_{n+1}}{A_n}\right)>0, o que implica \dfrac{A_{n+1}}{A_n}>1 para todo n\ge1. Logo a sequência é estritamente crescente já a partir de n=1 (e, claro, também “para n grande”).

Passo 4

Juntando os resultados: \displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n=\infty e A_n é crescente (de fato estritamente crescente para n\ge1). Assim a alternativa correta é a que afirma que a sequência tende a infinito e é crescente para n grande.

Resposta

A)

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