Questão 1: Sobre a sequência
, a única alternativa correta é:
A) converge a infinito de forma crescente para
grande
B) converge a 1 de forma crescente para
grande.
C) converge a 1 de forma decrescente para
grande.
D) converge a 0 de forma decrescente para
grande.
E) converge a 0 de forma crescente para
grande.
A) converge a infinito de forma crescente para
B) converge a 1 de forma crescente para
C) converge a 1 de forma decrescente para
D) converge a 0 de forma decrescente para
E) converge a 0 de forma crescente para
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pergunta qual das alternativas é correta sobre o comportamento para
grande: se tende a
, a
ou a
e se é crescente ou decrescente. Ou seja, preciso determinar (i) o limite
e (ii) se
é eventualmente crescente ou decrescente.
Passo 2
Vou primeiro decidir o limite
. Uma forma prática é comparar o crescimento do numerador
com o do denominador
. Uso a desigualdade elementar, válida para
:
Dessa desigualdade segue uma desigualdade inferior para
:
Agora analiso o expoente
. Escrevo
Conhecemos o fato (pode-se ver por L’Hôpital) de que
Portanto
e, em particular, para
grande é positivo e da ordem unitaria; logo
. Assim
e pela desigualdade anterior temos
. Em palavras: o numerador
cresce muito mais rápido (exponencial em
) do que o fator
no denominador, portanto a sequência diverge para infinito.
Passo 3
Agora verifico a monotonicidade (se é crescente ou decrescente para
grande). Calculo a razão entre termos consecutivos:
Para ver se essa razão é maior ou menor que
uso logaritmo natural:
Aplico a desigualdade conhecida
para
(válida para
), que dá
. Assim
Portanto
, o que implica
para todo
. Logo a sequência é estritamente crescente já a partir de
(e, claro, também “para
grande”).
Passo 4
Juntando os resultados:
e
é crescente (de fato estritamente crescente para
). Assim a alternativa correta é a que afirma que a sequência tende a infinito e é crescente para
grande.
Resposta
A)