Questão 5. Sobre a série numérica \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}, podemos afirmar que:
1 A série diverge pois \lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt{n} diverge.
B A série converge pelo Critério do Termo Geral.
C) A série converge pelo Critério de Leibniz.
[D] A série converge pelo critério da integral.

Passo 1

O enunciado nos dá a série numérica
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}
e pede para avaliar sua convergência. O conteúdo aqui é reconhecer um caso de série telescópica por racionalização de termos.

Passo 2

Para ver o comportamento dos termos, racionalizamos o denominador:
\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}} =\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}}{(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1})(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})} =\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}.
Logo o termo geral é
a_n=\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}.

Passo 3

Escrevendo a soma parcial S_N=\sum_{n=0}^{N}a_n, temos telescópica:
S_N=(\sqrt2-\sqrt1)+(\sqrt3-\sqrt2)+\cdots+(\sqrt{N+2}-\sqrt{N+1}) =\sqrt{N+2}-\sqrt1.

Passo 4

Ao fazer N\to\infty,
S_N=\sqrt{N+2}-1\longrightarrow+\infty,
ou seja, as somas parciais crescem sem limite. Portanto a série diverge.

Passo 5

Das alternativas dadas, apenas a (A) afirma corretamente que a série diverge (a justificativa deles não é a nossa, mas é o único item que conclui divergência).

Resposta

(A)

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