Questão 4:

Suponha que a distância percorrida por um pássaro é dada por x(t)=28,0 \mathrm{~m}+(12,4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) t-\left(0,045 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3} t^{3}\right). Sendo assim, calcule:
a) A Função Horária da Velocidade deste pássaro;
b) A Função Horária da Aceleração deste pássaro;
c) A velocidade deste pássaro no instante t=8,0 \mathrm{~s};
d) O instante em que a velocidade é nula.
e) Tem algum instante em que a aceleração é nula? Se sim, calcule e mostre qual é.

Passo 1

O enunciado nos dá a função horária da posição
x(t)=28,0\;+\;12,4\,t\;-\;0,045\,t^{3}
e pede:
– (a) a função da velocidade v(t),
– (b) a função da aceleração a(t),
– (c) v(8,0\;\text{s}),
– (d) o instante em que v(t)=0,
– (e) se existe instante em que a(t)=0.
Para isso usamos cálculo de derivadas de polinômios, pois
v(t)=\frac{dx}{dt}, \quad a(t)=\frac{dv}{dt}.

Passo 2

Derivando termo a termo para obter v(t):
– a derivada de 28,0 é 0,
– a derivada de 12,4\,t é 12,4,
– a derivada de -0,045\,t^{3} é -0,045\cdot3\,t^{2}=-0,135\,t^{2}.
v(t)=12,4\;-\;0,135\,t^{2}

Passo 3

Derivando v(t) para obter a(t):
– a derivada de 12,4 é 0,
– a derivada de -0,135\,t^{2} é -0,135\cdot2\,t=-0,27\,t.
a(t)=-0,27\,t

Passo 4

Substituindo t=8,0 em v(t):
v(8,0)=12,4-0,135\cdot(8,0)^{2} =12,4-0,135\cdot64 =12,4-8,64 =3,76 \;\text{m/s}

Passo 5

Para achar quando v(t)=0, resolve-se
12,4-0,135\,t^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad t^{2}=\frac{12,4}{0,135}\approx91,85 \quad\Longrightarrow\quad t\approx\sqrt{91,85}\approx9,58 \;\text{s}

Passo 6

Para achar quando a(t)=0, basta resolver
-0,27\,t=0 \quad\Longrightarrow\quad t=0 \;\text{s}
ou seja, a aceleração só zera em t=0.

Resposta

(a) v(t)=12,4-0,135\,t^{2}\quad(\text{m/s})
(b) a(t)=-0,27\,t\quad(\text{m/s}^{2})
(c) v(8,0)=3,76\;\text{m/s}
(d) t\approx9,58\;\text{s}
(e) Sim. a(t)=0 só em t=0\;\text{s}.

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