Questão 3: Usando a Lei de Gauss, encontre o campo elétrico em todo o espaço devido a uma esfera carregada com densidade de carga
.
Passo 1
Opa, então vamos ter uma esfera de raio
com densidade de carga que varia com o raio interno assim:
O conteúdo aqui é Eletrostática, mais precisamente a Lei de Gauss. Para resolver, a gente vai precisar de:
- Reconhecer a simetria esférica e escolher uma superfície gaussiana (uma casca esférica de raio
). - Calcular a carga total “presa” dentro dessa casca usando a definição
. - Usar a Lei de Gauss:
Passo 2
Primeiro, por simetria esférica sabemos que
só depende de
e aponta radialmente. Escolhemos uma casca esférica de raio
. Então o fluxo é
Passo 3
Precisamos da carga dentro de um raio genérico
. A densidade varia com
, então:
Passo 4
Agora aplicamos a Lei de Gauss para
:
Passo 5
Para
a carga total da esfera é a mesma integral até
:
Então, fora da esfera,
.
Passo 6
Lei de Gauss para
:
Resposta
O campo elétrico resultante, em coordenadas esféricas, fica