Questão 3: Usando a Lei de Gauss, encontre o campo elétrico em todo o espaço devido a uma esfera carregada com densidade de carga E0 r^prime .

Passo 1

Opa, então vamos ter uma esfera de raio rho(r') = E0,r', com densidade de carga que varia com o raio interno assim:
oint EcdotdA = Qintvarepsilon0,
O conteúdo aqui é Eletrostática, mais precisamente a Lei de Gauss. Para resolver, a gente vai precisar de:
  1. Reconhecer a simetria esférica e escolher uma superfície gaussiana (uma casca esférica de raio ).
  2. Calcular a carga total “presa” dentro dessa casca usando a definição .
  3. Usar a Lei de Gauss:

Passo 2

Primeiro, por simetria esférica sabemos que oint EcdotdA = E(r);l(4pi r^2r), só depende de e aponta radialmente. Escolhemos uma casca esférica de raio . Então o fluxo é

Passo 3

Precisamos da carga dentro de um raio genérico Qint(r) = integral0^r rho(r'),dV = integral0^r l(E0r'r),(4pi r'^2,dr') = 4pi E0integral0^r r'^3,dr' = 4pi E0,r^44 = pi,E0,r^4 . A densidade varia com , então:

Passo 4

Agora aplicamos a Lei de Gauss para E(r),(4pi r^2) ;=; Qint(r)varepsilon0 ;Longrightarrow; E(r);=;pi,E0,r^44pi,varepsilon0,r^2 ;=;E0,r^24,varepsilon0 :

Passo 5

Para Qtot = pi,E0,R^4 a carga total da esfera é a mesma integral até :
Então, fora da esfera, .

Passo 6

Lei de Gauss para E(r),(4pi r^2) =Qtotvarepsilon0 =pi,E0,R^4varepsilon0 ;Longrightarrow; E(r) =pi,E0,R^44pi,varepsilon0,r^2 =E0,R^44,varepsilon0,r^2 :

Resposta

O campo elétrico resultante, em coordenadas esféricas, fica
E(r)= E0,r^24,varepsilon0;r, & r= R

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